Regelmäßige Vielecke (Polygone, n-Ecke) 

 
Definition eines regelmäßigen (regulären) n-Ecks:
Ein n-Eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang
und alle Innenwinkel gleich groß sind.                               

Regelmäßige n-Ecke von n =  3 bis 8:  

Links mit Bestimmungsdreieck, rechts mit Diagonalen und Symmetrieachsen

Eigenschaften eines regelmäßigen n-Ecks:

1. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis.

2. Jedes regelmäßige n-Eck lässt sich in n kongruente Dreiecke zerlegen, die zum gleichschenkligen Bestimmungsdreieck ABM kongruent sind.
   Mittelpunktswinkel  μ  =  360° : n,  Basiswinkel  =  (180°– μ) : 2

3. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180°٠(n – 2).

4. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt n verschiedene Symmetrieachsen.

5. Ab der Eckenzahl 6 gibt es bei geradzahligen n-Ecken Mehrfachschnittpunkte, bei denen sich mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Spezielle Eigenschaften von regelmäßigen n-Ecken:
 

Anzahl der Ecken	Anzahl der Verbindungs- strecken	Anzahl der Diagonalen	Anzahl der Diagonal- schnittpunkte	Anzahl nicht überdeckender Dreiecke	Anzahl aller Teildreiecke
3	3	0	0	1	1
4	6	2	1	4	8
5	10	5	5	10	35
6	15	9	12	18	110
7	21	14	35	35	287
8	28	20	49	56	632
9	36	27	126	90	1302
...
n

k₁, k₂  sind Korrekturzahlen bei geradem n>5 wegen Mehrfachschnittpunkten.

n = 6:    k₁ = 3;    k₂ = 1

n = 8:    k₁ = 21;    k₂ = 12

Es gilt:  

Erklärung zur 2. Spalte in der Tabelle:

Mit Abzählen und geschickter Summation:  Vom 1. Eckpunkt gehen n-1, vom 2. Eckpunkt n-2 Verbindungslinien und vom letzten Eckpunkt 1 Verbindungslinie aus. Eine geschickte Summierung aller Verbindungslinien (1. + letzter, 2. + vorletzter usw.) liefert  [(n-1)+1] + [(n-2)+2] + ..., das sind (n-1)/2 Summanden n.

Mit Kombinatorik:  Da jeweils 2  von  n  Punkten verbunden werden, gibt es 
Verbindungsstrecken der n Punkte.

Erklärung zur 4. Spalte in der Tabelle:

Falls es keine Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen gibt liefern jeweils die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Punkten des n-Ecks einen Diagonalschnittpunkt. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es dann insgesamt Diagonalschnittpunkte.

Erklärungen zur 6. Spalte in der Tabelle:

1. Fall:  

Ein Dreieck entsteht im n-Eck durch die Verbindungsstrecken dreier verschiedener Eckpunkte. Es gibt dafür  Möglichkeiten.

2. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

3. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von fünf verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

4. Fall:  

Schließlich erhält man durch die Verbindungsstrecken von sechs verschiedenen  Eckpunkten noch zusätzlich  Möglichkeiten.

Typischer Unterschied im Verlauf der Diagonalen bei einem geradzahligen und ungeradzahligen regelmäßigen n-Eck:

Ist die Eckenzahl gerade, so verlaufen die Diagonalen durch den Mittelpunkt.

Bei ungerader Eckenzahl ist die Mitte leer und die Diagonalen bilden innen ein verkleinertes n-Eck.

      Konzentrische 16-Ecke und ein 8-Eck mit Diagonalen

Fensterrosetten in Kathedralen

Reguläre Vielecke als Grundstruktur für Fensterrosetten in Kathedralen

                     12eck                                             16eck                                            24eck                                            32eck 

Zugehörige Fensterrosetten:

        Notre-Dame Chartre                 Notre-Dame Reims W-Rosette         Notre-Dame Paris S-Rosette                 Straßburger Münster

Quelle für die Fensterrosetten: Wikipedia

Bilder einer Unterteilung regulärer Vielecke
(rotationssymmetrische und auch achsensymmetrische Figuren)

Gleichseitiges Dreieck:

Quadrat:

Reguläres Fünfeck:

Reguläres Sechseck:

Reguläres Siebeneck:

Reguläres Achteck:

Reguläres Zehneck:

Kongruente Teilflächen in den einzelnen Vielecken sind mit gleicher Farbe dargestellt.

Vom gleichseitigen Dreieck zum regelmäßigen 15-Eck:

Kränze (ringförmige Anordnung) von regulären Vielecken mit Sternen im Inneren

Reguläre Vielecke mit gerader Eckenzahl 2n, n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Die Anzahl der regulären Vielecke, die einen Kranz bilden entspricht der Eckenzahl.

Begründung der Kranzbildung für n = 8:

Innenwinkel 𝛼 des regulären Achtecks:
𝛼 = (8 – 2)٠180°/8 = 135°

Drehwinkel μ = 360° – 2٠(180° – 𝛼) – (360° - 𝛼) = 45°

8 ٠ 45° = 360°, d.h  8 angrenzende reguläre Achtecke bilden einen Kranz

Allgemein gilt für das reguläre 2n-Eck: n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Innenwinkel 𝛼 des regulären 2n-Ecks:
𝛼 = (2n – 2)٠180°/2n

Drehwinkel μ = (n – 2)٠ 180° – 2٠(180° – 𝛼) – (2n – 6)/2٠(360° – 𝛼)

2n 2n-Ecke bilden einen Kranz.
  

Reguläre Vielecke mit ungerader Eckenzahl 2n-1, n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Die Anzahl der regulären Vielecke, die einen Ring bilden entspricht der doppelten Eckenzahl.

Begründung der Kranzbildung für n = 7:

Innenwinkel 𝛼 des regulären Sechsecks:
𝛼 = (7 – 2)٠180°/7 ≈ 128,57°

Drehwinkel μ = 360°– 2٠(180°– 𝛼) – (360°– 𝛼) ≈ 25,71°

14 ٠ μ = 360°, d.h 10 angrenzende reguläre Siebenecke bilden einen Kranz.

Allgemein gilt für das reguläre (2n–1)-Eck: n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Innenwinkel 𝛼 des regulären (2n–1)-Ecks:
𝛼 = (2n – 3)٠180°/(2n –1)

Drehwinkel μ = (n – 2)٠ 180° – 2٠(180° – 𝛼) – (2n – 6)/2٠(360° – 𝛼)

2٠(2n–1)  (2n–1)-Ecke bilden einen Kranz.
 

Regelmäßige n-Ecke – Berechnungen  

Umkreisradius R:

sin(π/n)  = a/2 /R (Sinus im Dreieck  A₂N₁M)

R = a / (2 sin(π/n))

Inkreisradius r:

cot(π/n) = r / a/2 (Kotangens im Dreieck  A₁N₁M)

r = a/2 cot(π/n)

Flächeninhalt A = n mal Flächeninhalt im Dreieck A₁A₂M

A = n٠a٠r/2 = n a²/4٠cot(π/n)  

Tabelle für n-Ecke von n=3 bis n=10

Unregelmäßige konvexe Vielecke 

Definition eines unregelmäßigen konvexen n-Ecks:

Ein n-Eck heißt unregelmäßig konvex, wenn nicht alle Seiten gleich lang sind und die Verbindungsstrecken beliebiger Punkte des n-Ecks im n-Eck enthalten sind.

Allgemein gilt:

Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180°٠(n – 2).

Unregelmäßige konvexe Sieben- und Achtecke ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen, die sich nicht überdeckenden Dreiecke sind farbig dargestellt:

Spezielle Eigenschaften von unregelmäßigen konvexen n-Ecken ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen:
  

Anzahl n der Ecken	Anzahl der Verbindungs- strecken	Anzahl der Diagonalen	Max. Anzahl der Diagonal- schnittpunkte	Max. Anzahl nicht überdeckender Dreiecke	Maximale Anzahl der Teildreiecke
3	3	0	0	1	1
4	6	2	1	4	8
5	10	5	5	10	35
6	15	9	15	19	111
7	21	14	35	35	287
8	28	20	70	56	644
9	36	27	126	90	1302
...
n

Erklärungen zur letzten Zeile siehe regelmäßige Vielecke!

Anzahl der maximalen Schnittflächen (Teilpolygone) in einem n-Eck

Das Viereck hat 4, das Fünfeck hat 11, das Sechseck hat maximal 25, das Siebeneck hat maximal 50 Schnittflächen.

Die maximale Anzahl von Schnittflächen (Teilpolygonen) entsteht, wenn sich nur zwei Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Formel für die maximale Anzahl A_max der Schnittflächen eines unregelmäßigen konvexen n-Ecks:
A_max = (n – 1)(n – 2)(n² – 3n + 12)/24 

Tabelle für die maximale Anzahl A_max der Schnittflächen in Abhängigkeit von n:

Für regelmäßige n-Ecke mit ungerader Eckenzahl gelten die Tabellenwerte ebenfalls, da sich dann nur zwei Diagonalen in einem Punkt schneiden.