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Anwendungsbeispiele für Wachstum und Zerfall,
Verzinsung Ein Kapital K(0) =1000 € wird zu 2,5% verzinst.
Berechnung des Guthabens (Kapitals) K(t) nach
t = 1, 2, 3, . . . Jahren:
. . . K(t) = K(0) × 1,025 t mit K(0) = 1000 €
Nach z.B. t = 10 Jahren ergibt sich:
K(10) = 1000 €٠1,02510
= 1280,08 €
Verdopplung des Kapitals:
2٠K(0) =
K(0)٠1,025 t
⇒
t = ln 2 /
ln 1,025 ≈
28
Eine Verdopplung des Kapitals ergibt sich
nach etwa 28 Jahren.
(ln
= natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis
e
≈ 2,71828)
Bakterienwachstum
Ein
Biologe stellt bei der Beobachtung einer Bakterienkultur fest, dass sich die
von den Bakterien bedeckte Fläche A(t)
in der Petrischale jede Stunde um 20%
vergrößert, d.h. die 1,2-fache Fläche einnimmt.
A(1) = A(0)٠1,2
mit
A(0) = 10 mm2
A(2) = A(0)٠1,2 ٠1,2
=
. . .
A(t) = A(0)٠1,2 t
mit
A(0) = 10 mm2
Graphische Darstellung
Verdopplung der Fläche: A(t) = 2٠A(0)
⇒
1,2 t = 2
⬄
ln
1,2 t =
ln 2
⬄
t٠ln
1,2 = ln 2
⇒ t ≈
3,8 Nach jeweils 3,8 Stunden verdoppelt sich die mit Bakterien bedeckte Fläche.
(ln = natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis
e
≈ 2,71828)
Das Wachstum ist jedoch durch die Größe der
Petrischale begrenzt!
Bevölkerungswachstum
Die
Weltbevölkerung ist in der Vergangenheit angenähert exponentiell gewachsen.
Gleichung der Exponentalfunktion
zur Näherung des
Bevölkerungswachstums zwischen 1950 und 2020:
f(x) = f(0)٠1,0153
10٠t
mit
f(0) = 2,8٠106
Menschen im Jahr 1950 (für Näherung 2,8 statt 2,54) 1 Zeiteinheit für t entspricht 10 Jahre. Die Basis 1,0153 = 1 + 1,53%
1,53% ist
das mittleres Wachstum zwischen 1950 und 2000. Statistikwerte sind als grüne Punkte dargestellt, prognostizierte Werte als rote Punkte, Grenzwert 11 Milliarden Menschen, Quelle: https://de.statista.com
Gleichung der logistischen Funktion
zur Darstellung der
möglichen weiteren Bevölkerungsentwicklung ab 2020:
g(x) =
Startwert g(6)
= 6,96 bei t = 6 (im Jahr 2010)
Graphische Darstellung
Gf
(grün)
und Gg (blau) des Bevölkerungswachstums der Welt:
Entwicklung der
7-Tage-Inzidenz des Coronavirus
1
Zeiteinheit für t entspricht 5 Tage, Maximum
der 7-Tage-Inzidenz bis 9/2020 am 4.4.2020: 44,5,
Quelle:
RKI
Exponentielle Näherung:
f(t) = 0,2٠3,6
t
(grün),
Logistische Näherung:
g(t) =
Graphische Darstellung
Radioaktiver Zerfall
Das Zerfallsgesetz
für die Aktivität A(t) eines radioaktiven Präparats zum Zeitpunkt t
lautet:
A(t) = A(0)٠e - λ٠t
,
A(0) = Aktivität zum Zeitpunkt t = 0,
λ heißt Zerfallskonstante
Die Einheit der Aktivität ist 1 Bq (Becquerel) = 1 radioaktiver Zerfall pro
Sekunde.
Zusammenhang zwischen Halbwertszeit T½
und λ:
½ A(0) = A(0)٠e - λ٠T½ ⇒ ln ½ = - λ٠ T½ und ln ½ = - ln 2, daraus folgt:
λ =
(ln
= natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis
e ≈ 2,71828)
Beispiel:
Caesium-137:
T½
=
30,1 Jahre (u.a. freigesetzt bei der Reaktorkatastrophe von Tschernobyl)
A(t) = A(0)٠e -λ٠t
, A(0) =
1000 Bq, λ ≈ 0,02303 1/Jahre, t
in Jahren
Graphische Darstellung
Exponentielle
Abnahme des Luftdrucks Der
absolute Luftdruck p(h) nimmt mit der Höhe h exponentiell ab und
zwar um ca. 0,01284% pro m (Meter).
Luftdruck in
Höhe h = 1 m: 100% - 0,01284% = 99,98716% von 1013,25 hPa.
Bei jedem
weiteren Meter nimmt der Luftdruck um das 0,9998716-fache ab.
p(h) = p(0)
٠ 0,9998716
h ,
p(0) = 1013,25 hPa (Hektopascal)
1013,25 hPa ist
der Luftdruck auf Meeresniveau.
Einheiten:
1 Pa = 1 N/m², 1 hPa = 1 mbar, 1013,25 hPa ≈ 1 bar
Auf der
Zugspitze h = 2962 m ergibt sich
als Luftdruck:
p(2962)= 1013,25
٠ 0,9998716 2962 = 1013,25 ٠ 0,683625 = 692,7 hPa 692,7 hPa von 1013,25 hPa sind 68,4%
Auf dem
Mount Everest h = 8848 m ergibt
sich als Luftdruck:
p(8848)= 1013,25
٠ 0,9998716 8848 = 1013,25
٠ 0,32105 = 325,3 hPa 325,3 hPa von 1013,25 hPa sind 32,1% Graphische Darstellung des Luftdrucks p(h) in Abhängigkeit
von der Höhe h
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