Fraktale

Bei Fraktalen handelt es sich um geometrische Figuren, deren Struktur stark zerklüftet erscheint. Die Vergrößerung eines Ausschnitts eines Fraktals liefert wieder eine ähnliche Struktur. Man spricht von Selbstähnlichkeit.
Dimension D der Selbstähnlichkeit (Ähnlichkeit):  

a = Anzahl der selbstähnlichen Teile,  s = Verkleinerungsfaktor < 1

Bei Fraktalen ist die Dimension der Selbstähnlichkeit meist ungleich einer natürlichen Zahl.
Fraktale können durch Rekursionen erzeugt werden. Die Iteration ist die häufigste Methode, um Fraktale zu erzeugen.
 

Beispiele für Fraktale

Sierpinski-Dreieck

Bei einem Dreieck werden die Mittelpunkte der Seiten verbunden und das so entstandene mittlere Dreieck entfernt (Generator). Es bleiben so 3 Dreiecke übrig, deren Seiten jeweils halb so lang sind. Die Dimension der Selbstähnlichkeit ist mit a = 3 und s = 1/2:

           

Koch-Schneeflocke

Ausgangspunkt für die Koch-Schneeflocke ist die Seite eines gleichseitigen Dreiecks.



Diese Strecke wird nun im 1. Iterationsschritt durch vier Seiten ersetzt, die jetzt 1/3 der Länge der ursprünglichen Strecke haben (Generator).

Der schwedische Mathematiker Helge von Koch hat 1904 gezeigt, dass die bei dieser Iteration für n gegen ∞ entstehende Kurve überall stetig aber nirgends differenzierbar ist.

Für n gegen besitzt die Koch-Schneeflocke einen endlichen Flächeninhalt und wird von einer unendlich langen Kurve umschlossen.

Die Dimension der Selbstähnlichkeit ist mit a = 4 und s = 1/3

    

 

Hilbert-Kurve

Ausgangspunkt (Initiator) für die Hilbert-Kurve sind drei Seiten eines Quadrats.

Der deutsche Mathematiker David Hilbert entdeckte 1891, dass die bei dieser Iteration für n gegen ∞ entstehende stetige Kurve, die Fläche eines Quadrats vollständig ausfüllt.

Die Dimension der Selbstähnlichkeit ist mit a = 4 und s = 1/2

Zu den Fraktalen zählen im weiteren Sinne auch Julia-Mengen und die Mandelbrot-Menge.

Durch Iterationen wurden folgende Bilder erzeugt:

Strauch als Fraktal:

                         1. Iteration               5. Iteration

            

 

Baum als Fraktal:

                           1. Iteration                            5. Iteration

     


Fraktalähnlicher Wald im Frühjahr und im Herbst:

 

Farn als Fraktal erzeugt mit IFS (iteriertes Funktionensystem):



Die Natur liefert viele Beispiele von Fraktalen oder fraktalähnlichen Gebilden:

Dentriten, Blutgefäße, Schneeflocken, Gemüse (z.B. Brokoli, Blumenkohl), Pflanzen, Sträucher, Bäume, Korallen, Berge, Wolken, Blitze ...