Einteilung der Dreiecke und Sonderfälle

Einteilung von Dreiecken nach Winkeln

Spitzwinkliges Dreieck

 

  

        Im spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90°.

 

  

Rechtwinkliges Dreieck

 

Im rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°, z.B. γ = 90°.

 

 

  

Stumpfwinkliges Dreieck

 

Im stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90°.

 

  

Das gleichschenklige Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck

 

  

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang, z.B. a = b

Dann gilt:

I    Die beiden Basiswinkel sind gleich groß, α = β falls a = b.

II   Es besitzt eine Symmetrieachse mc durch Mc und C, falls a = b.

III  Inkreis- und Umkreismittelpunkt befinden sich auf der Symmetrieachse.

 

 

   

Das gleichseitige Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

  

Im gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang,  a = b = c.

Dann gilt:

I   Alle Winkel sind gleich groß, α = β = γ = 60°.

II  Es besitzt drei Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt und hat eine 3-fache Rotationssymmetrie.

III  Inkreis und Umkreis besitzen den gleichen Mittelpunkt M.

 

 

  

Bestimmungsstücke im Dreieck

1.  Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

 

  

2.  Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H.

3.  Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Abschnitte, in die der Schwerpunkt eine Seitenhalbierende teilt, verhalten sich wie 2:1. Das längere Stück ist immer an einer Ecke.

  

    

    Eigenschaften des Mittendreiecks MaMbMc:
 a)   MbMa || AB  und   , entsprechend für MbMc und  für MaMc.
b)  Die vier Dreiecke AMcMb, McBMa, MbMaC und MaMbMc sind zueinander kongruent.

     c)  Die zentrische Streckung mit Zentrum S und Streckungsfaktor -0,5 bildet das Dreieck
     ABC auf das Dreieck MaMbMc ab, usw. 

 

4.  Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt W, dem Inkreismittelpunkt des Dreiecks.

  

  

  

 Eigenschaft des Dreiecks M1M2M3, wobei M1, M2, M3 die Mittelpunkte der Ankreise des Dreiecks ABC sind:
Die Höhen des Dreiecks M1M2M3 sind die Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC. 

  

Die Euler-Gerade und der Feuerbachkreis.

 Die Euler-Gerade im Dreieck:

  

Konstruktion dynamisch


Satz über die Euler-Gerade:

In jedem Dreieck liegt der Schnittpunkt H der Höhen, der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F und der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten liegen auf einer Geraden. Diese Gerade heißt Euler-Gerade.

(Leonhard Euler 1707-1783, ab 1733 Professor für Mathematik an der Universität Sankt Petersburg, 1741-1766 an der Berliner Akademie, dann wieder in Sankt Petersburg).
   

Satz über den Feuerbachkreis:

Die Seitenmitten Ma, Mb, Mc und die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc eines Dreiecks und die Mittelpunkte A’, B’, C’ zwischen den Dreiecksecken und dem Höhenschnittpunkt liegen auf einem Kreis. Dieser Kreis heißt Feuerbachkreis oder Neunpunktekreis.
(Karl Wilhelm Feuerbach 1800-1834, Professor der Mathematik am Gymnasium in Erlangen).  

  

  

Konstruktion dynamisch

    

Weitere Eigenschaften:

1.  Die Euler-Gerade geht auch durch den Mittelpunkt F des Feuerbachkreises; der Mittelpunkt dieses Kreises ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke [HM].

2.  Die vier Punkte M, S, F und H sind vier harmonische Punkte mit dem Teilverhältnis  | τ | = 2 : 1.

3.  Im Dreieck ABC besitzt der Feuerbachkreis einen halb so großen Radius wie der Umkreis des Dreiecks.

4.  Die zentrische Streckung (H; 0,5) mit Zentrum H und Streckungsfaktor 0,5 bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck A’B’C’ und den Umkreis des Dreiecks ABC auf den Feuerbachkreis ab.

euler-feuerbach-1

 

5.  Die zentrische Streckung (S; -0,5) mit Zentrum S und Streckungsfaktor  -0,5 bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck MaMbMc und den Umkreis des Dreiecks ABC auf den Feuerbachkreis ab.

6.  Die beiden zentrischen Streckungen (S; -0,5) und (H; 0,5) hängen folgendermaßen zusammen:
(S; -0,5) o (F; -1)  =  (H; 0,5), wobei  (F; -1) die Punktspiegelung an F ist.
Z.B. wird  C  mit der zentrischen Streckung (S; -0,5) auf  Mc  abgebildet, während die zentrischen Streckung (H; 0,5)  C auf  C' abbildet. Die Punktspiegelung an F führt dann Mc in C' über.

Konstruktion dynamisch

7.   Beim gleichseitigen Dreieck wird der Neunpunktekreis zum Inkreis des Dreiecks.

8.   Der Neunpunktekreis wird vom Inkreis und von den drei Ankreisen des Dreiecks ABC berührt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

Folgendes Bild entstand nach Vorlage eines Bildes in der Zeitschrift PM Oktober 2007, S. 49. 
Der Umkreis des Dreiecks ABC wurde in 8 gleich lange Bogenstücke unterteilt. Durch blaue und gelbgrüne  Flächenfärbung werden die beiden zentrischen Streckungen (S; -0,5) und (H; 0,5) ästhetisch ansprechend dargestellt. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mandala aus gleichschenkligen Dreiecken bestehend

Dreiecks-Mandala

 

Sämtliche Konstruktionen wurden mit Hilfe von geogebra durchgeführt.

Quelle für Beweise:  http://lsgm.uni-leipzig.de/KoSemNet/pdf/graebe-99-1.pdf

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