Kreise im goldenen Schnitt

Es gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:

σ und τ sind die Zahlen des goldenen Schnitts.

Kreise im regelmäßigen Fünfeck

Das stumpfwinklig goldene Dreieck ABF ist im Vergleich zum stumpfwinklig goldenen Dreieck EBH um den Faktor σ verkleinert. da |AB| = σ |EB|. (siehe: Goldener Schnitt – Konstruktionen)

Entsprechend gilt für den Radius s des blauen Kreises s = σ r.

Kreise und regelmäßiges Fünfeck

Die blauen Kreise haben alle den gleichen Radius r₁.

Es gilt: 

r₁ : r =  σ

Begründungen:

K und L sind jeweils Mittelpunkte der Strecken AM und BM.

Es sei  r = 1.

Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck KM₁M:

cos 36° = 0,5 / r₁  ⬄  r₁  =  0,5 / cos 36°  =  σ

Im rechtwinkligen Dreieck KM₁M gilt:

x / 0,5  = tan 36°  ⬄  x = 0,5٠tan 36°

Im rechtwinkligen Dreieck AFM gilt:

y / 1 = sin 36°      ⬄  y = sin 36°

Daraus folgt:

x / y =  0,5 tan 36° / sin 36° = 0,5 / cos 36° =  σ

ebenso  2x / 2y  =  σ

Kreise im regelmäßigen Zehneck mit der Seitenlänge a

Die blauen und die grünen Rauten haben jeweils die Seitenlänge a.

Die Figur hat wie das reguläre Fünfeck 5 Symmetrieachsen.

Es gilt:

Die Radien bzw. Durchmesser der blauen Kreise stehen im Vergleich zu den Radien bzw. Durchmesser der blauen Kreise im Verhältnis des goldenen Schnitts.

Begründung:

d₁² = a² + a² – 2a² cos(108°) (Kosinussatz im Dreieck MRQ)

d₁² = 2a² (1 – cos(108°))

d₁² = a² (3 + √5)/2

d₁ = a √((3 + √5)/2)  (I)

r₁ = d₁/2 sin(36°)

r₁ = d₁/2 (√(10 - 2√5) / 4  (II)

I in II:

r₁ = a √(10 + 2√5) / 8

d₂² = a² + a² – 2a² cos(36°) (Kosinussatz im Dreieck PQS)

d₂² = 2a² (1 – cos(36°))

d₂² = a² (3 – √5)/2

d₂ = a √((3 – √5)/2)  (III)

r₂ = d₂/2 sin(72°)

r₂ = d₂/2 √(10 + 2√5)/4  (IV)

III in IV:

r₂ = a √(10 – 2√5) / 8

Damit ergibt sich für das Verhältnis r₂ zu r₁

r₂ : r₁ = (√5 – 1)/2 = σ

Kreise in Kreisen im goldenen Schnitt

r₁ = 1,  r₂ = σ,  R = 2 r₁ + r₂ = 2 + σ,   r₃ = (2 R – 2) : 2 = 1 + σ

  (Pythagoras im Dreieck MGH)

Kreis um H mit Radius r₂ = σ berührt den Kreis um G mit mit Radius r₃ im Punkt P.

Es gilt:

R : r₃  =  (2 + σ) : (1 + σ)  =  (1 + τ) : τ  =  1/ τ + 1  =  σ + 1  =  τ

r₃ : r₁  =  (1 + σ) : 1  =  τ

r₁ : r₂  =  1/σ  =  τ

Die Kreisradien des jeweils größeren zum kleineren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl τ.
Die Kreisradien des jeweils kleineren zum größeren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl σ.

Dies gilt auch für die folgenden Kreisbilder:

Die acht hellblauen Kreise berühren sich in sehr guter Näherung, aber nicht exakt!

Sich berührende Kreise im goldenen Schnitt

Die grünen Kreise haben den Major,
die blauen Kreise den Minor als Radius.

Die Figur hat 4 Symmetrieachsen wie das Quadrat.

Deshalb sind entsprechende Mittelpunkte von Kreisen Eckpunkte von Quadraten.

Die beiden Rechtecke haben das Seitenverhältnis 2:1.

Begründung für das Berühren der äußeren blauen Kreise,

Pythagoras im △MQR:

x² = (1 + σ)² + (2 + 2σ)²

Lässt sich vereinfachen zu:  x + σ = 3 + 2σ

Dies ist der Radius des äußeren Kreises, d.h. die äußeren blauen Kreise berühren den Umfangskreis.

Gleicharmiges Kreuz mit Kreisen im goldenen Schnitt

Das gleicharmige Kreuz bestehe aus 5 Quadraten (spezielles griechisches Kreuz).
Innerhalb des Umkreises des Kreuzes berühren sich 5 Kreise wie dargestellt.

r₁ = 1/2 √2 a (1) (Pythagoras im Dreieck ABC)

(r₁ + 2r₂)² = (1,5a)² + (0,5a)² (Pythagoras im Dreieck MEF)

(r₁ + 2r₂)² = 2,5 a²

2r₂ = √2,5 a – r₁  (2)

(1) in (2):

2r₂ = √(5/2) a – √2 /2 a

Die Radien stehen im Verhältnis des goldenen Schnitts, mit dem Major M = r₁ der und dem Minor m = r₂.
Entsprechend stehen die Durchmesser der Kreise mit Radius r₁ und r₂ im Verhältnis des goldenen Schnitts.

Goldener Schnitt in folgendem regelmäßigen Fünfzehneck-Stern

Es gilt:

I    r : R = σ

II   s : r = σ

III  r + s = R

Begründung zu I:

Der Winkel an der Sternspitze ist 36°
(Winkel zwischen den Diagonalen am Eckpunkt eines regulären Fünfecks).

Der Innenwinkel im regulären Fünfzehneck ist 156° = 13٠180°/15.

Damit entstehen zwischen den Spitzen gleichseitige Dreiecke mit den Innenwinkeln 60°.

Nach dem Sinussatz gilt im Dreieck MQA:

r : R = sin(18°) : sin(150°)

Begründung zu II:

Nach dem Sinussatz gilt im Dreieck MPQ:

s : r = sin(30°) : sin(126°); 126° = 180° – (30° + 24°);  24° = 360°/15

Begründung zu III:

r + s = r + r σ = r (1 + σ) = r τ
R = r/σ = r τ
Daraus folgt: r + s = R

Kreiskette

d₁ = 1,  d₂ = σ,  d₃ = σ٠σ = σ², . . .

Für die geometrische Reihe mit σ < 1 gilt:

1 + σ + σ² + σ³ + . . .   =  1/(1- σ)

Der Flächeninhalt der Kreiskette ist ¼ π τ  (siehe Kreisketten)