Kreise im goldenen Schnitt
Es gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:
Kreise und regelmäßiges Fünfeck, Pentagramm
Die blauen
Kreise haben alle den gleichen Radius r1
Es gilt:
Begründungen:
K und L sind
jeweils Mittelpunkte der Strecken AM und BM.
Es sei
r = 1.
Dann gilt im
rechtwinkligen Dreieck KM1M:
cos 36° = 0,5 /
r1
⬄
r1 =
0,5 / cos 36° =
σ
Im
rechtwinkligen Dreieck KM1M gilt:
x / 0,5
= tan 36°
⬄
x = 0,5٠tan 36°
Im
rechtwinkligen Dreieck AFM gilt:
y / 1 = sin 36°
⬄
y = sin 36°
Daraus folgt:
x / y = 0,5 tan 36° / sin 36° =
0,5 / cos 36° = σ
ebenso
2x / 2y =
σ
Kreise in Kreisen im goldenen Schnitt
r1 = 1,
r2 = σ,
R = 2 r1 + r2
= 2 + σ,
r3
= (2 R – 2) : 2 = 1 + σ
Kreis um H mit Radius
r2
= σ berührt den Kreis um G mit mit Radius r3 im Punkt P.
Es gilt:
R : r3
=
(2 + σ) : (1 + σ)
= (1 + τ) : τ
= 1/ τ + 1
= σ + 1
=
τ
r3
: r1
= (1
+ σ) : 1 =
τ
r1
: r2
= 1/σ = τ Die Kreisradien des jeweils größeren zum
kleineren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl
τ.
Dies gilt auch für die folgenden Kreisbilder:
Die acht hellblauen Kreise berühren sich in sehr guter
Näherung, aber nicht exakt!
Die grünen Kreise haben den Major,
Die Figur hat 4 Symmetrieachsen wie das
Quadrat.
Deshalb sind entsprechende Mittelpunkte von
Kreisen Eckpunkte von Quadraten.
Begründung für das Berühren
der äußeren blauen Kreise,
Pythagoras im △MQR: x2 = (1 + σ)2 + (2 + 2σ)2
Lässt sich vereinfachen zu: x + σ = 3 + 2σ
Dies ist der Radius des äußeren Kreises, d.h. die äußeren blauen Kreise
berühren den Umfangskreis.
Kreiskette
d1
= 1, d2
= σ, d3
= σ٠σ = σ2,
. . . Für die geometrische Reihe mit σ < 1 gilt:
1 + σ + σ2
+ σ3
+ . . . =
1/(1- σ)
Der Flächeninhalt der Kreiskette
ist ¼ Zurück Zurück zur Startseite |