Kreisringe in regelmäßigen Vielecken

Kreisringe berühren ein reguläres n-Eck von innen.

1. Fall

3eck-kreise4eck-kreise5eck-kreise6eck-kreise7eck-kreise8eck-kreise

Anteil der Kreisflächeninhalte zu den Flächeninhalten der n-Ecke in Abhängigkeit von n.

n-Eck-Kreise1 
 

α = 90° – 360°/(2n) mit 180° = π:  α = π/2 – π/n

α/2 = π/4 – π / (2n)

r /(a/2) = tan(π/4 – π /(2n))

r = a/2٠tan(π/4 – π /(2n))

h/(a/2) = tan(π/4 – π /(2n))

h = a/2٠tan(π/4 – π /(2n))

Kreisflächeninhalt K = r2 π:  K = (a/2٠tan(π/4 – π /(2n)))2 π

Inhalt der Dreiecksfläche D = a h/2 = a2/ (4 tan(π/n))

Flächenverhältnis n K/(n D) = K/D

K/D = (a/2٠tan(π/4 – π /(2n)))2 π / (a2/(4 tan(π/n)))

K/D = (tan(π/4 – π/(2n)))2 tan(π/n) π

 

 

Tabelle des Flächenverhältnisses K / D

Tabelle-1

Graphische Darstellung

Grafik-Kreisringe-1
 
 
 

Das Maximum des Flächenverhältnisses K/D wird für n = 6, d.h. für den Kreisring im regulären Sechseck erreicht. Das Flächenverhältnis ist von der Seitenlänge a des regelmäßigen Vielecks unabhängig.

Für n gegen ∞ geht K/D gegen 0.




 
 
 

2. Fall

3eck-kreise24eck-kreise2 5eck-kreise26eck-kreise2 7eck-kreise28eck-kreise2

 Anteil der Kreisflächeninhalte zu den Flächeninhalten der n-Ecke in Abhängigkeit von n. 
n-eck-kreise2

α = 90° – 360°/(2n)  und 180° = π

α = π/2 – π/n

r/(1–r) = tan(π/2 – π/n)

r = tan(π/2 – π/n) – r tan(π/2 – π/n)

r (1 +  tan(π/2 – π/n)) = tan(π/2 – π/n)

r = tan(π/2 – π/n) / (1 +  tan(π/2 – π/n))

Grüne Kreisfläche K = r2 π

Flächeninhalt Dr des Drachens ABCD = doppelter Flächeninhalt des Dreiecks BCD

Dr = 2٠1٠h/2 = h = tan(α) = tan(π/2 – π/n)

Flächenverhältnis n K / (n Dr) = K / Dr

K / Dr = (tan(π/2 – π/n) / (1 +  tan(π/2 – π/n)))2 π / tan(π/2 – π/n)

 

 

Tabelle des Flächenverhaältnisses K / Dr

Kreisring im n-Eck 2

Graphische Darstellung

Kreisringe-Grafik-2

 

 

 

 

Das Maximum des Flächenverhältnisses K/Dr wird für n = 4, d.h. für den Kreisring im Quadrat, erreicht. Das Flächenverhältnis ist von der Seitenlänge a des regelmäßigen Vielecks unabhängig.

Für n gegen ∞ geht K/Dr gegen 0.

 

 
 
 

Kreisringe im Kreis

Kreisringe berühren einen Umkreis.

3kreis4kreis5kreis6kreis7kreis8kreis

Anteil der blauen Kreisflächeninhalte zum Flächeninhalt des Umfangskreises in Abhängigkeit von n.

n-Kreis-Kreise

 

δ = 360°/ (2n)  mit 180° = π:  δ = π/n

r/(R – r) = sin(π/n) 

r = R sin(π/n) / (1 + sin(π/n))

Flächeninhalt Kb der n blauen Kreise

Kb = n R2 (sin(π/n) / (1 + sin(π/n)))2 π

Flächeninhalt Ku des Umfangskreises: R2 π

Flächenverhältnis Kb/Ku:

Kb/Ku = n (sin(π/n) / (1 + sin(π/n)))2

  

  

Tabelle des Flächenverhältnisses Kb/Ku

Tab-Kreis-Kreise

Graphische Darstellung

Kreis-Kreise-Grafik

 

 

Das Maximum des Flächenverhältnisses Kb/Ku wird für n = 4 erreicht. Das Flächenverhältnis ist vom Radius R des Umfangskreises unabhängig.

Für n gegen ∞ geht Kb/Ku gegen 0.

 

 

 
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