Pyth. Tripel und Quadrupel

Pythagoreische Tripel

[a, b, c] mit a² + b² = c², wobei a, b, und c natürliche Zahlen sind.

Allgemein gilt der Satz des Pythagoras a² + b² = c² (*) auch für nicht natürliche Zahlen a, b und c.

Pythagoräische Tripel lassen sich mit ganzzahligem p und q erzeugen:

a = 2pq, b = p² – q², c = p² + q²

Einsetzen in (*):

a² + b² = (2pq)² + (p² – q²)² = 4p²q² + p⁴ – 2p²q² + q⁴ = (p² + q²)² = c²

Damit lassen sich beliebige pythagoräische Tripel erzeugen:

Beispiele:

p = 2, q = 1 ⇒ a = 4, b = 3, c = 5

p = 3, q = 2 ⇒ a = 12, b = 5, c = 13

p = 3, q = 1 ⇒ a = 6, b = 8, c = 10

Falls p und q vollständig gekürzt sind, entstehen nur primitive pythagoräische Tripel (siehe unten).

Pythagoräische Tripel berechnen mit Hilfe der Programmiersprache Python:

ogr = 40

print('Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a')

print(' a b c')

for a in range (1,ogr+1):

for b in range (a,ogr+1):

p = a*a + b*b

q = p**(1/2)

c = int(q)

if c*c == p:

print('%4d %4d %4d' % (a,b,c))

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a

a b c

3 4 5

5 12 13

6 8 10

7 24 25

8 15 17

9 12 15

9 40 41

10 24 26

12 16 20

12 35 37

15 20 25

15 36 39

16 30 34

18 24 30

20 21 29

21 28 35

24 32 40

27 36 45

30 40 50

Pythagoreische Tripel heißen primitiv, wenn a, b und c teilerfremd sind, d.h. nur den gemeinsamen Teiler 1 haben.

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 für a,b,c teilerfremd

a b c

3 4 5

5 12 13

7 24 25

8 15 17

9 40 41

12 35 37

20 21 29

. . .

Falls c eine Primzahl ist gilt offensichtlich für c und einer natürlichen Zahl n:
c = 4 n +1 bzw. c mod 4 = 1 (c geteilt durch 4 gibt Rest 1)

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 mit Primzahl c

a b c c mod 4

3 4 5 1

5 12 13 1

8 15 17 1

9 40 41 1

11 60 61 1

12 35 37 1

20 21 29 1

20 99 101 1

28 45 53 1

39 80 89 1

48 55 73 1

60 91 109 1

65 72 97 1

. . .

Im Vergleich dazu der

Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz:
Eine ungerade Primzahl p ist genau dann die Summe zweier Quadrate, wenn sie von der Form p = 4 n +1 ist, d.h. p mod 4 = 1 mit einer natürlichen Zahl n.

Diese Primzahlen nennt man auch pythagoreische Primzahlen.

Lösungen für a^2 + b^2 = p mit Primzahl p

a b p p mod 4

1 2 5 1

1 4 17 1

1 6 37 1

1 10 101 1

1 14 197 1

2 3 13 1

2 5 29 1

2 7 53 1

2 13 173 1

2 15 229 1

3 8 73 1

3 10 109 1

4 5 41 1

4 9 97 1

. . .

Formel von Pythagoras zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 1 oder c = b + 1 und a ist ungerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:

2 2

a - 1 a + 1

g(a) := [ a, —————, ————— ]

2 2

VECTOR(g(a), a, 3, 19, 2)

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

13 84 85

15 112 113

17 144 145

19 180 181

Für Primzahlen a gilt ebenfalls: c = b + 1.

Formel von Platon zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 2 und a ist gerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:

_a 2 _a 2

h(a) := [ a,(—) - 1,(—) + 1 ]

² ²

VECTOR(h(a), a, 4, 20, 2)

4 3 5

6 8 10

8 15 17

10 24 26

12 35 37

14 48 50

16 63 65

18 80 82

20 99 101

Allgemeine Lösungen für a² + b² = (b + n)² mit c = b + n oder c – b = n

2 2 2 2

a - n a + n

a, b = ——————, c = ——————

2·n 2·n

Lösungen in Python für a² + b² = c², wobei gilt

für ungerade n: a₁ = 3n,

für gerade n: a₁ = 2n.

a b c c-b=n

3 4 5 1

5 12 13 1

7 24 25 1

9 40 41 1

. . .

9 12 15 3

15 36 39 1

21 72 75 3

27 120 123 3

. . .

15 20 25 5

25 60 65 5

35 120 125 5

45 200 205 5

. . .

21 28 35 7 Zusätzliche Lösungen für b<a:

35 84 91 7

49 168 175 7

63 280 287 7

. . .

27 36 45 9 15 8 17, 21 20 29

33 56 65 9

39 80 89 9

45 108 117 9

. . .

4 3 5 2

6 8 10 2

8 15 17 2

10 24 26 2

. . .

8 6 10 4

12 16 20 4

16 30 34 4

20 48 52 4

. . .

12 9 15 6

18 24 30 6

24 45 51 6

30 72 78 6

. . .

16 12 20 8 12 5 13

20 21 29 8

24 32 40 8

28 45 53 8

. . .

20 15 25 10

30 40 50 10

40 75 85 10

50 120 130 10

. . .

Pythagoreische Quadrupel

[a, b, c, d] mit a² + b² + c² = d², wobei a, b, c und d natürliche Zahlen sind.

Ein Quader ABCDEFGH veranschaulicht die Gleichung a² + b² + c² = d²;
a² + b² = x² und x² + c² = d² (zweimal Satz des Pythagoras)

Pythagoräische Quadrupel berechnen in der Programmiersprache Python

ogr = 20

print('Lösungen für a^2 + b^2 + c^2 = d^2')

print('Obergrenze für a, b oder c gleich 20')

print(' a b c d')

for a in range(1,ogr+1):

for b in range(a,ogr+1):

for c in range(b,ogr+1):

p = a*a + b*b + c*c

q = p**(1/2)

d = int(q)

if d*d == p:

print('%4d %4d %4d %4d' % (a,b,c,d))

Lösungen für a^2 + b^2 + c^2 = d^2

Obergrenze für a, b oder c gleich 20

a b c d

1 2 2 3

1 4 8 9

1 6 18 19

1 12 12 17

2 3 6 7

2 4 4 6

2 5 14 15

2 6 9 11

2 8 16 18

2 10 11 15

3 4 12 13

3 6 6 9

3 14 18 23

4 4 7 9

4 5 20 21

4 6 12 14

4 8 8 12

4 8 19 21

4 12 18 22

4 13 16 21

5 10 10 15

6 6 7 11

6 6 17 19

6 9 18 21

6 10 15 19

6 12 12 18

6 13 18 23

7 14 14 21

8 8 14 18

8 9 12 17

8 11 16 21

8 16 16 24

9 12 20 25

9 18 18 27

10 20 20 30

12 12 14 22

12 15 16 25

17 20 20 33

Mit folgender Formel lassen sich mit Hilfe von DERIVE bei gegebener Differenz
n = b – a oder b = a + n für ungerade n beliebig viele Quadrupel mit der Eigenschaft d – c = 1 erzeugen;
hier n = 9 bis a = 10.

2 (n - 1)·(n + 1) 2 (n - 1)·(n + 1)

f(a, n) := [ a, a + n, a + n·a + ———————————————, a + n·a + —————————————— + 1 ]

2 2

z.B. n = 9

VECTOR(f(a,n),a,1,10)

1 10 50 51

2 11 62 63

3 12 76 77

4 13 92 93

5 14 110 111

6 15 130 131

7 16 152 153

8 17 176 177

9 18 202 203

10 19 230 231

Formel für gerade a und gerade n, wobei d – c = 2:

2 2

a n n 2 a n n 2

g(a, n) := [ a, a + n, —— + —·a + ( — ) - 1, —— + —·a + ( — ) + 1 ]

2 2 2 2 2 2

z.B. n = 8

VECTOR(g(a,n),a,2,20,2)

2 10 25 27

4 12 39 41

6 14 57 59

8 16 79 81

10 18 105 107

12 20 135 137

14 22 169 171

16 24 207 209

18 26 249 251

20 28 295 297

Vielfache einer Lösung sind auch Lösungen, z.B.:

h(a) := [a, 2·a, 2·a, 3·a]

VECTOR(h(a), a, 1, 10)

1 2 2 3

2 4 4 6

3 6 6 9

4 8 8 12

5 10 10 15

6 12 12 18

7 14 14 21

8 16 16 24

9 18 18 27

10 20 20 30

Lösungen in Python für primitive Quadrupel, d.h. a, b und c sind teilerfremd,
mit a² + b² + c² = d²

a b c d

1 2 2 3

1 4 8 9

1 6 18 19

1 12 12 17

2 3 6 7

2 5 14 15

2 6 9 11

2 10 11 15

2 10 25 27

2 14 23 27

3 4 12 13

3 6 22 23

3 14 18 23

3 16 24 29

4 4 7 9

4 5 20 21

4 8 19 21

4 13 16 21

6 6 7 11

6 6 17 19

6 10 15 19

6 13 18 23

6 21 22 31

7 14 22 27

8 9 12 17

8 11 16 21

8 20 25 33

9 12 20 25

. . .

Lösungen für Quadrupel mit a² + b² + c² = d² mit Tripel a² + b² = x²,
a, b, c, d und x sind natürliche Zahlen.

a b c d

3 4 12 13

5 12 84 85

6 8 24 26

7 24 60 65

9 12 20 25

9 12 36 39

12 16 21 29

12 16 48 52

12 16 99 101

15 20 60 65

15 36 52 65

15 36 80 89

16 63 72 97

18 24 40 50

18 24 72 78

21 28 84 91

21 72 100 125

. . .

Lösungen für Quadrupel mit a² + b² + c² = d² mit Tripel a² + b² = x² und b² + c² = y², a, b, c, d, x und y sind natürliche Zahlen.

a b c d

264 448 975 1105

264 495 952 1105

357 1276 6960 7085

528 896 1950 2210

528 990 1904 2210

533 756 3360 3485

792 1344 2925 3315

792 1485 2856 3315

819 1680 3740 4181

861 5852 6864 9061

. . .

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