Satz des Pythagoras


Im rechtwinkligem Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat:

a2  +  b2  =  c2

    

1. Beweis:

          

Die vier Dreiecke AEH, BFE, CGF und DHG sind kongruent. Das Viereck EFGH ist ein Quadrat, da die Summe aus grünem und blauem Winkel wegen der Winkelsumme im Dreieck 90° beträgt und der gestreckte Winkel 180° ist. 

Dann gilt:

Flächeninhalt des großen Quadrats  =  4٠Flächeninhalt eines Dreiecks + Flächeninhalt des inneren Quadrats

                                          (a + b)2  =  4 ٠ ½ ab  +  c2

                              a2  +  2ab  +  b2  =  2ab  +  c2

                                        a2    +  b2  =   c2

2. Beweis:

Durch Flächenvergleich der beiden gleich großen Quadrate der Seitenlänge b+a, die jeweils 4 kongruente Dreiecke beinhalten folgt, dass die Restflächen c2 (links) und a2 + b2 (rechts) gleich groß sein müssen.

Konstruktion mit Beweis dynamisch

  

Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt. Der Beweis dieses Satzes wird Pythagoras zugeschrieben, obwohl es dafür keinen geschichtlichen Nachweis gibt.

Die Babylonier und Ägypter waren anscheinend nur an der Anwendung des Satzes, nicht an einem allgemeingültigen Beweis interessiert.

Die zusammengebundene Zwölfknotenschnur wurde zum Darstellen von rechten Winkeln z.B. im alten Ägypten benutzt. Die Knoten wurden jeweils im gleichen Abstand (L.E.) gebildet. Die Schnur wird so über die Eckpunkte A, B, C aufgespannt, dass die Seitenlängen 3, 4, 5 L.E. betragen. Es gilt dann:  32 + 42  = 52

Damit ist ein rechter Winkel im Dreieck ABC gegeben.

       

 

Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras

Errichtet man über den drei Seiten a, b, c des Dreiecks ABC jeweils zueinander ähnliche Figuren mit den Flächeninhalten Fa, Fb, Fc so gilt wegen der Ähnlichkeit:
                                         F
a/a² = Fb/b² = Fc/c²

Daraus folgt:

Fa = Fc /c²٠a²,  Fb = Fc /c²٠

Fa + Fb  =  Fc /c²٠a² + Fc /c²٠  =  Fc /c²٠(a²+ b²) =  Fc /c²٠  = Fc,

da nach Pythagoras gilt:  a²+ b² = c²

  

Pythagoras mit ähnlichen Figuren

Setzt man auf die Seiten a, b. c des rechtwinkligen Dreiecks drei

zueinander ähnliche Figuren mit den Flächeninhalten Fa, Fb , Fc, so gilt:

                               Fa + Fb  =  Fc

(bereits bei Euklid im Buch Elemente. VI.31.[11] ca. 300 v. Chr.)

 

Möndchen des Hippokrates

Nach dem allgemeinen Satz des Pythagoras ist die Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Seiten a und b gleich dem Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite c.

        

 

Wenn man den Halbkreis unter AB nach oben klappt und die beiden Kreissegmente aus den beiden kleineren Halbkreisen herausnimmt bleibt die Fläche des Dreiecks ABC übrig. Daraus folgt:

Satz des Hippokrates (um 450 v. Chr.)

Die Summe der Flächeninhalte der beiden Möndchen (Mondsicheln) ist gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

Sonderfall:  gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck zum Quadrat verdoppelt

Die Summe der Flächeninhalte der 4 Mondsicheln ist gleich dem Flächeninhalt des Quadrats.

   


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