Satz des PythagorasIm rechtwinkligem Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat: a2 + b2 = c2 1. Beweis:
Die vier Dreiecke AEH, BFE, CGF und DHG sind kongruent. Das Viereck EFGH ist ein Quadrat, da die Summe aus grünem und blauem Winkel wegen der Winkelsumme im Dreieck 90° beträgt und der gestreckte Winkel 180° ist. Dann gilt: Flächeninhalt des großen Quadrats = 4٠Flächeninhalt eines Dreiecks + Flächeninhalt des inneren Quadrats (a + b)2 = 4 ٠ ½ ab + c2 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 a2 + b2 = c2
2. Beweis:
Durch Flächenvergleich der beiden gleich großen Quadrate der Seitenlänge b+a, die jeweils 4 kongruente Dreiecke beinhalten folgt, dass die Restflächen c2 (links) und a2 + b2 (rechts) gleich groß sein müssen.
Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Indien bekannt. Der Beweis dieses Satzes wird Babylon und
Pythagoras zugeschrieben, obwohl es dafür keinen geschichtlichen Nachweis gibt.
Die Babylonier und Ägypter waren anscheinend nur an der Anwendung des
Satzes, nicht an einem allgemeingültigen Beweis interessiert.Die zusammengebundene Zwölfknotenschnur wurde zum Darstellen von rechten
Winkeln z.B. im alten Ägypten benutzt. Die Knoten wurden jeweils im gleichen
Abstand (L.E.) gebildet. Die Schnur wird so
über die Eckpunkte A, B, C
aufgespannt, dass die Seitenlängen 3, 4, 5 L.E. betragen. Es gilt dann:
32 + 42
= 52.
Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras
Errichtet man über den drei Seiten a, b, c des
Dreiecks ABC jeweils zueinander ähnliche Figuren
mit den Flächeninhalten Fa,
Fb,
Fc
so gilt wegen der Ähnlichkeit: Daraus folgt:
Fa
= Fc
/c²٠a²,
Fb
= Fc
/c²٠b²
Fa
+ Fb
=
Fc
/c²٠a²
+ Fc
/c²٠b²
=
Fc
/c²٠(a²+
b²) =
Fc
/c²٠c²
= Fc,
da nach Pythagoras gilt:
a² + b² = c²
Pythagoras mit ähnlichen Figuren
Setzt man auf die Seiten a, b. c des
rechtwinkligen Dreiecks drei
Fa
+ Fb
=
Fc (bereits bei
Euklid
im Buch Elemente. VI.31.[11]
ca. 300 v. Chr.)
Möndchen des Hippokrates
Nach dem allgemeinen Satz des Pythagoras ist die
Summe der Flächeninhalte der Halbkreise über den Seiten a und b gleich dem
Flächeninhalt des Halbkreises über der Seite c.
Wenn man den Halbkreis unter AB nach oben klappt
und die beiden Kreissegmente aus den beiden kleineren Halbkreisen
herausnimmt bleibt die Fläche des Dreiecks ABC übrig. Daraus folgt:
Satz des Hippokrates
(um 450 v. Chr.) Die Summe der Flächeninhalte der beiden Möndchen
(Mondsicheln) ist gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Sonderfall:
gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck zum
Quadrat verdoppelt
Die Summe der Flächeninhalte der 4 Mondsicheln ist gleich dem Flächeninhalt
des Quadrats.
Die Pythagoras-Spirale
Die rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
Dann ist die Summe der Flächeninhalte der grünen Quadrate gleich dem
Flächeninhalt des braunen Quadrats.
Begründung mit Satz des Pythagoras:
Der Flächeninhalt des roten Quadrats ist gleich der Summe aus den
Flächeninhalten des kleinen grünen Quadrats und des blauen Quadrats.
Der Flächeninhalt des braunen Quadrats ist gleich der Summe aus den
Flächeninhalten des großen grünen Quadrats und des roten Quadrats.
Daraus folgt:
Der Flächeninhalt des braunen Quadrats ist gleich der Summe aus den
Flächeninhalten der grünen Quadrate und des blauen Quadrats.
Entsprechend folgt:
Der Flächeninhalt des braunen Quadrats ist gleich der Summe aus den
Flächeninhalten der grünen Quadrate und des blauen Quadrats.
Wenn nun die Anzahl n der so entstandenen grünen Quadrate immer größer wird,
nimmt der Flächeninhalt des blauen Quadrats ab und geht gegen 0, wenn n
gegen ∞ geht.
Begründung mit der geometrischen Reihe:
Für q = (b/c)2
< 1 gilt dann: a2 + (b/c)2٠a2 + (b/c)4٠a2 + (b/c)6٠ a2 + … = a2/(1 – (b/c)2) = a2c2/(c2 – b2) = c2
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