Winkelberechnungen

α = 8·180°/10 = 144°  (Innenwinkel im regulären Zehneck)

β‘ = 180° – 2 (180° – α) = 2 α – 180° = 108°  (Winkelsumme im Dreieck 180°)

β = 180° – β‘ = 72°

δ = 360° – (α + 2 β) = 72°  (Winkelsumme im Viereck 360°)

2 ε + δ = α

ε = (α – δ)/2 = 36°

Berechnung von b und R in Abhängigkeit von der Seitenlänge a des regulären Zehnecks:

cos(36°) = a/2 / b

b = a / (2 cos(36°))

b = 1/2 (√5 – 1) a = σ a ≈ 0,618 a   (goldene Schnittzahl σ)

Der Umfang u des {10/3}-Sterns beträgt u = 20 b = 20 σ a  ≈ 12,36 a

cos(72°) = a/2 / R

R = a / (2 cos(72°))

R = 1/2 (√5 + 1) a = τ a ≈ 1,618 a   (goldene Schnittzahl τ)

R = τ a ≈ 1,618 a  

Flächeninhalt A des {10/3}- Sterns ist gleich dem Flächeninhalt A₁₀ des regulären Zehnecks mit Seitenlänge a minus 10 Dreiecksflächen A_△ mit der Seitenlänge a und der Höhe h.

Flächeninhalt A₁₀ des regulären Zehnecks mit Seitenlänge a:
A₁₀ = 10·1/2·a h₁₀         NR: h₁₀² = R² – (a/2)²  (Pythagoras)
                                         h₁₀² ≈ 2,618 a² – 0,25 a² = 2,368 a²
                                         h₁₀ ≈ 1,539 a

A₁₀ ≈  7,694 a²

A_△ = 1/2·a·h                NR: h² = b² – (a/2)²   (Pythagoras)

                                             h² ≈ 0,382 a² - 0,25 a² ≈ 0,132 a²

                                             h ≈ 0,363 a

A_△ ≈  0,182 a²

A =  A₁₀  – 10 A_△ ≈  7,694 a² – 10·0,182 a² ≈ 5,88 a²

Flächeninhalt A des {10/3}-Sterns beträgt A ≈ 5,88 a²