Parkette mit regelmäßigen Vielecken und spiralförmige Parkette

1) Parkette mit regelmäßigen Vielecken 

Eine Parkettierung der Ebene besteht aus einer Menge von Parkettsteinen oder Grundmustern, die die Ebene ohne Überlappungen und ohne Lücken bedeckt.

Als Grundmuster werden hier nur regelmäßige Vielecke betrachtet.

Reguläre Parkettierungen, die genau ein Grundmuster benötigen, entstehen nur durch das gleichseitige Dreieck, Quadrat oder regelmäßige Sechseck.

Parkettstein:

gleichseitiges Dreieck              Quadrat                    reguläres Sechseck

 

      

  

 
 

  

 

   

Durch schrittweise Verschiebung des Grundmusters in Richtung oder Gegenrichtung des grünen oder blauen Pfeils entsteht die reguläre Parkettierung.

Der grüne und blaue Pfeil sind Repräsentanten zweier linear unabhängiger Vektoren   , die die Parkettierung erzeugen. Durch Addition und Subtraktion dieser Vektoren entstehen repräsentativ der gelbe und orange Pfeil. Diese beiden Pfeile geben zwei weitere mögliche Verschiebungsrichtungen des Grundmusters an.

Durch Linearkombination von    kann jede Position des Grundmusters in der Parkettierung angesteuert werden.

Die Linearkombination    mit ganzen Zahlen m und n bezogen auf einen beliebigen Knotenpunkt als Zentrum O bildet die diskrete Translationsgruppe .  

  

Halbreguläre Parkettierungen entstehen bei Verwendung von mehr als einem Grundmuster. 

Beispiele:


Zwei verschiedene Grundmuster:

Regelmäßiges Fünfeck und konkaves Fünfeck 
mit gleich langen Seiten. 

Der orange Pfeil ist hier der Gegenpfeil zum
grünen Pfeil.  
      

         

 

  Drei verschiedene Grundmuster:

 Zwei symmetrische regelmäßige Fünfecke und 
 zwei verschiedene Rauten.
 

  

   

 

   

  

   

   

   Zwei verschiedene Grundmuster:

  Ein regelmäßiges Achteck und ein Quadrat.

 

    

  

Die Verschiebungseigenschaften sind die gleichen wie bei der regulären Parkettierung.

  

2) Zweifache spiralförmige Parkette (Spiralparkette)

Mit dem regulären Dreieck, Viereck und Sechseck als Parkettstein lassen sich auch spiralförmige Parkette erzeugen.

Diese sind nicht-periodisch und besitzen auch keine Achsensymmetrie. Bei Vernachlässigung der Farbgebung besitzen sie jedoch eine Rotationssymmetrie

     

Die Scherung der Parkettsteine liefert wieder spiralförmige Parkette, z.B.:

               

Die Parkettsteine sind dann beliebige Dreiecke, beliebige Parallelogramme und Sechsecke mit jeweils gleich langen gegenüberliegenden Seiten

Wenn man als Parkettsteine gleichschenklig spitzwinklige Dreiecke verwendet nähert sich die Spiralform bei zunehmend spitzerem Winkel immer besser der Archimedischen Spirale an. Spitze Winkel:

                       45°                                         30°                                         12°

      

 

Überlagerung von Archimedischer Spirale (rot) und Spirale mit 12°-winkligem Dreieck:

 

Zwei gemusterte Spiralparkette:

 

 

3) Einfache spiralförmige Parkette (Spiralparkette)

Mit dem gleichseitigen konkaven Fünfeck, Siebeneck und Neuneck als Parkettsteine lassen sich einfache spiralförmige Parkette erzeugen.

Parkettstein:

                  Fünfeck                                Siebeneck                              Neuneck

 

Die grünen 3-5-7-Ecke sind in Spiralrichtung linksgedreht, die blauen 3-5-7-Ecke rechtsgedreht.

Überlagerung von Archimedischer Spirale (rot) und Neuneck-Spirale:

Eine Siebzehneck-Spirale etwas farbiger:

 


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