Parkette mit regelmäßigen Vielecken und spiralförmige Parkette

1) Parkette mit regelmäßigen Vielecken 

Eine Parkettierung der Ebene besteht aus einer Menge von Parkettsteinen oder Grundmustern, die die Ebene ohne Überlappungen und ohne Lücken bedeckt.

Als Grundmuster werden hier nur regelmäßige Vielecke betrachtet.

Reguläre Parkettierungen, die genau ein Grundmuster benötigen, entstehen nur durch das gleichseitige Dreieck, Quadrat oder regelmäßige Sechseck.

Parkettstein:

gleichseitiges Dreieck              Quadrat                                            reguläres Sechseck

Durch schrittweise Verschiebung des Grundmusters in Richtung oder Gegenrichtung des grünen oder blauen Pfeils entsteht die reguläre Parkettierung.

Der grüne und blaue Pfeil sind Repräsentanten zweier linear unabhängiger Vektoren   , die die Parkettierung erzeugen. Durch Addition und Subtraktion dieser Vektoren entstehen repräsentativ der gelbe und orange Pfeil. Diese beiden Pfeile geben zwei weitere mögliche Verschiebungsrichtungen des Grundmusters an.

Durch Linearkombination von    kann jede Position des Grundmusters in der Parkettierung angesteuert werden.

Die Linearkombination    mit ganzen Zahlen m und n bezogen auf einen beliebigen Knotenpunkt als Zentrum O bildet die diskrete Translationsgruppe .  

Halbreguläre Parkettierungen entstehen bei Verwendung von mehr als einem Grundmuster. 

Beispiele:

    Zwei verschiedene Grundmuster:

Regelmäßiges Fünfeck und konkaves Fünfeck mit gleich langen Seiten. 

Der orange Pfeil ist hier der Gegenpfeil zum grünen Pfeil.  

 Drei verschiedene Grundmuster:

Zwei symmetrische regelmäßige Fünfecke und zwei verschiedene Rauten.
 

 Zwei verschiedene Grundmuster:

 Ein regelmäßiges Achteck und ein Quadrat.

 (archimedische Parkettierung) 

Die Verschiebungseigenschaften sind die gleichen wie bei der regulären Parkettierung.

2) Archimedische Parkette

Parkette, in denen zwei oder drei verschiedene regelmäßige n-Ecke mit gleich langen Seiten vorkommen und deren Ecken gleichartig aufgebaut sind, d.h. in denen die regelmäßigen n-Ecke in gleicher Anzahl und Reihenfolge aneinander stoßen, heißen archimedische Parkettierungen.

Kennzeichnung über eine Parkettecke:

Bei einer Drehung um einen Eckpunkt wird der Reihe nach die Eckenzahl der Vielecke angegeben, z.B.

  3-6-3-6 bedeutet:

  Auf ein Dreieck folgt ein Sechseck, dann wieder ein Dreieck und ein Sechseck.

Die 8 verschiedenen archimedischen Parkettierungen

              3-3-3-4-4                                       3-3-4-3-4                                     3-4-6-4                                           4-8-8

                4-12-6                                           3-6-3-6                                    3-3-3-3-6                                        3-12-12

3) Kepler-Parkett

Johannes Kepler (1571 – 1630) hat sich auch mit Parkettierungen mit Fünfecken beschäftigt. Er wusste, dass man mit Fünfecken allein die Ebene nicht parkettieren kann.  

Von ihm stammt nebenstehende Figur.

Quelle

Wenn man neben Pentagramm (Fünfstern), regulärem Fünfeck und regulärem Zehneck auch ein sonst reguläres Zehneck mit einem konkaven Eckteil zulässt, lässt sich die Ebene parkettieren.

Das Parkett hat dann eine 5fache Rotationssymmetrie.

4) Zweifache spiralförmige Parkette (Spiralparkette)

Mit dem regulären Dreieck, Viereck und Sechseck als Parkettstein lassen sich auch spiralförmige Parkette erzeugen.

Diese sind nicht-periodisch und besitzen auch keine Achsensymmetrie. Bei Vernachlässigung der Farbgebung besitzen sie jedoch eine Rotationssymmetrie.

Die Scherung der Parkettsteine liefert wieder spiralförmige Parkette, z.B.:

Die Parkettsteine sind dann beliebige Dreiecke, beliebige Parallelogramme und Sechsecke mit jeweils gleich langen gegenüberliegenden Seiten

Wenn man als Parkettsteine gleichschenklig spitzwinklige Dreiecke verwendet nähert sich die Spiralform bei zunehmend spitzerem Winkel immer besser der Archimedischen Spirale an. Spitze Winkel:

                                45°                                                      30°                                                     12°

Überlagerung von Archimedischer Spirale (rot) und Spirale mit 12°-winkligem Dreieck:

5) Einfache spiralförmige Parkette (Spiralparkette)

Mit dem gleichseitigen konkaven Fünfeck, Siebeneck und Neuneck als Parkettsteine lassen sich einfache spiralförmige Parkette erzeugen.

Parkettstein: jeweils konkaves

                        Fünfeck                                             Siebeneck                                              Neuneck

Die grünen 3-5-7-Ecke sind in Spiralrichtung linksgedreht, die blauen 3-5-7-Ecke rechtsgedreht.

Überlagerung von Archimedischer Spirale (rot) und Neuneck-Spirale:

Eine Siebzehneck-Spirale etwas farbiger:
                                        

6) Parkettähnliche mehrfache Spiralen

3fache, 5fache und 7fache Spirale mit sich überdeckenden Kreisen