Kreise im goldenen Schnitt

Es gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:

Kreise und regelmäßiges Fünfeck, Pentagramm

Die blauen Kreise haben alle den gleichen Radius r₁.

Es gilt: 

r₁ : r =  σ

Begründungen:

K und L sind jeweils Mittelpunkte der Strecken AM und BM.

Es sei  r = 1.

Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck KM₁M:

cos 36° = 0,5 / r₁  ⬄  r₁  =  0,5 / cos 36°  =  σ

Im rechtwinkligen Dreieck KM₁M gilt:

x / 0,5  = tan 36°  ⬄  x = 0,5٠tan 36°

Im rechtwinkligen Dreieck AFM gilt:

y / 1 = sin 36°      ⬄  y = sin 36°

Daraus folgt:

x / y =  0,5 tan 36° / sin 36° = 0,5 / cos 36° =  σ

ebenso  2x / 2y  =  σ

Kreise in Kreisen im goldenen Schnitt

r₁ = 1,  r₂ = σ,  R = 2 r₁ + r₂ = 2 + σ,   r₃ = (2 R – 2) : 2 = 1 + σ

  (Pythagoras im Dreieck MGH)

Kreis um H mit Radius r₂ = σ berührt den Kreis um G mit mit Radius r₃ im Punkt P.

Es gilt:

R : r₃  =  (2 + σ) : (1 + σ)  =  (1 + τ) : τ  =  1/ τ + 1  =  σ + 1  =  τ

r₃ : r₁  =  (1 + σ) : 1  =  τ

r₁ : r₂  =  1/σ  =  τ

Die Kreisradien des jeweils größeren zum kleineren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl τ.

Die Kreisradien des jeweils kleineren zum größeren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl σ.

Dies gilt auch für die folgenden Kreisbilder:

Die acht hellblauen Kreise berühren sich in sehr guter Näherung, aber nicht exakt!

Sich berührende Kreise im goldenen Schnitt

Die grünen Kreise haben den Major,
die blauen Kreise den Minor als Radius.

Die Figur hat 4 Symmetrieachsen wie das Quadrat.

Deshalb sind entsprechende Mittelpunkte von Kreisen Eckpunkte von Quadraten.

Die beiden Rechtecke haben das Seitenverhältnis 2:1.

Begründung für das Berühren der äußeren blauen Kreise,

Pythagoras im △MQR:

x² = (1 + σ)² + (2 + 2σ)²

Lässt sich vereinfachen zu:  x + σ = 3 + 2σ

Dies ist der Radius des äußeren Kreises, d.h. die äußeren blauen Kreise berühren den Umfangskreis.

Kreiskette

d₁ = 1,  d₂ = σ,  d₃ = σ٠σ = σ², . . .

Für die geometrische Reihe mit σ < 1 gilt:

1 + σ + σ² + σ³ + . . .   =  1/(1- σ)

Der Flächeninhalt der Kreiskette ist ¼ π τ  (siehe Kreisketten)