Kreise im goldenen Schnitt

Es gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:

m = minor, M = Major

 

Kreise und regelmäßiges Fünfeck, Pentagramm

Die blauen Kreise haben alle den gleichen Radius r1.

Es gilt: 

r1 : r =  σ

 

Begründungen:

K und L sind jeweils Mittelpunkte der Strecken AM und BM.

Es sei  r = 1.

Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck KM1M:

cos 36° = 0,5 / r1    r1  =  0,5 / cos 36°  =  σ

Im rechtwinkligen Dreieck KM1M gilt:

x / 0,5  = tan 36°    x = 0,5٠tan 36°

Im rechtwinkligen Dreieck AFM gilt:

y / 1 = sin 36°        y = sin 36°

Daraus folgt:

x / y =  0,5 tan 36° / sin 36° = 0,5 / cos 36° =  σ

ebenso  2x / 2y  =  σ

  

Kreise in Kreisen

r1 = 1,  r2 = σ,  R = 2 r1 + r2 = 2 + σ,   r3 = (2 R – 2) : 2 = 1 + σ

  (Pythagoras im Dreieck MGH)

  Kreis um H mit Radius r2 = σ berührt den Kreis um G mit mit Radius r3 im Punkt P.

Es gilt:

R : r3  =  (2 + σ) : (1 + σ)  =  (1 + τ) : τ  =  1/ τ + 1  =  σ + 1  =  τ

r3 : r1  =  (1 + σ) : 1  =  τ

r1 : r2  =  1/σ  =  τ

Die Kreisradien des jeweils größeren zum kleineren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl τ.

Die Kreisradien des jeweils kleineren zum größeren Kreis stehen im Verhältnis der goldenen Schnittzahl σ.

Dies gilt auch für die folgenden Kreisbilder:

Die acht hellblauen Kreise berühren sich in sehr guter Näherung, aber nicht exakt!

Kreis-Reihe

d1 = 1,  d2 = σ,  d3 = σ٠σ = σ2, . . .

Für die geometrische Reihe mit σ < 1 gilt:

1 + σ + σ2 + σ3 + . . .   =  1/(1- σ)

   


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