Magische 4x4-Quadrate und 
Gruppeneigenschaften


Ein natürliches  magisches Quadrat der Ordnung 4 besitzt 880 Grundformen und 7 mal 880 weitere Darstellungsformen, die durch Spiegelungen und Drehungen aus den Grundformen hervorgehen. Das heißt, es gibt insgesamt 7040 verschiedene Darstellungsformen. Auf jede der 880 Grundformen können die Abbildungen der Diedergruppe D4 angewandt werden.
Die Zeilen-, Spalten- bzw. Diagonal-Summe des magischen 4x4-Quadrats beträgt 34.

1. Gruppeneigenschaften bei symmetrischen magischen Quadraten

Die verschiedenen Grundformen besitzen teilweise ebenfalls Gruppeneigenschaften bezüglich der Abbildungen, die die Grundformen ineinander überführen.
Zunächst wird eine spezielle Untergruppe von Abbildungen der Ordnung 8 bei symmetrischen magischen Quadraten dargestellt, bei der die Eckwerte 1, 4, 13, 16 (im Uhrzeigersinn) fest bleiben.

Bezeichnungen:

I    :   identische Abbildung (vorgegebene Grundform: symmetrisches magisches Quadrat)

A, B, C    :   vorgegebene elementare Abbildungen (s.u.)

o    :     Verknüpfung (Hintereinanderausführung) zweier Abbildungen von links nach rechts
   

      

G8 = { I, A, B, C, AoB, AoC, BoC, AoBoC  } bildet eine  Untergruppe der Ordnung 8. Die Untergruppe wird von den elementaren Abbildungen  A, B und C erzeugt. Die Quadrate bleiben dabei symmetrische magische Quadrate.

Folgende Verknüpfungstafel stellt eine Gruppentafel dar, wobei die 1. Abbildung in der linken Spalte steht:

  
      

   

Bemerkung:

Die Untergruppe der Ordnung 8 ist ähnlich strukturiert wie die Diedergruppe der Ordnung 8 . 

Es gibt hier jedoch keine zyklische Untergruppe, d.h. es fehlen als Abbildungen die Drehungen.
Die Gruppentafel ist symmetrisch bezüglich der Diagonalen durch I aufgebaut. 
Dies ist begründet durch die Gültigkeit des Kommutativ- und Assoziativgesetzes.

 

Durch Hinzunahme der elementaren Abbildung D entsteht eine Untergruppe mit 16 Elementen.

  

G16 = { I, A, B, C, D, AoB, AoC, AoD, BoC, BoD, CoD, AoBoC, AoBoD, AoCoD, BoCoD, AoBoCoD } bildet eine  Untergruppe der Ordnung 16. Die Untergruppe wird von den elementaren Abbildungen  A, B, C und D erzeugt und besitzt 6 Zweifachverknüpfungen, 4 Dreifachverknüpfungen und eine Vierfachverknüpfung.

Folgende Verknüpfungstafel stellt die zugehörige, zur Diagonalen durch I symmetrische Gruppentafel dar:
  

  
  

Bemerkung:

Die Gruppe G8  ist eine Untergruppe von G16

Durch Hinzunahme der elementaren Abbildung E entsteht eine Gruppe G32  der Ordnung 32, in der die vorhergehenden Gruppen als Untergruppen enthalten sind. Die Gruppe G32  wird von 5 elementaren Abbildungen erzeugt und besitzt neben der identischen Abbildung 10 Zweifachverknüpfungen, 10 Dreifachverknüpfungen, 5 Vierfachverknüpfungen und eine Fünffachverknüpfung. Die Quadrate bleiben dabei symmetrische magische Quadrate.

    

Bemerkungen:

Die aufgeführten Abbildungsgruppen erfassen nur einen kleinen Teil aller Abbildungsgruppen.

Durch die Hinzunahme weiterer elementarer Abbildungen können die Abbildungsgruppen erweitert werden.
Die Verknüpfung zweier Abbildungen, die jeweils ein symmetrisches magisches Quadrat erzeugen, muss nicht wieder ein magisches Quadrat ergeben. Es kann auch ein eingeschränkt magisches Quadrat, z.B. halbmagisches Quadrat, entstehen.

Mit Hilfe der Matrizenschreibweise lassen sich Abbildungen leichter verknüpfen. Falls die erste und vierte Zeile des magischen Quadrats bei der Verknüpfung keine Rolle spielen, z.B.
  

A o C 

           

  

2. Gruppeneigenschaften bei pandiagonalen magischen Quadraten

Es gibt insgesamt 48 verschiedene Grundformen von pandiagonalen magischen (panmagischen) Quadraten.

Werden die Grundformen mit Hilfe der Diedergruppe D4 gespiegelt und gedreht, entstehen insgesamt 48 * 8 = 384 verschiedene Darstellungsformen pandiagonaler magischer Quadrate. Die folgenden pandiagonalen magischen Quadrate sind  außerdem symmetrisch und vollkommen perfekt.

Bezeichnungen:

I    :   identische Abbildung (vorgegebene Grundform: pandiagonales magisches Quadrat)

K, L    :   vorgegebene elementare Abbildungen (s.u.)

o    :     Verknüpfung (Hintereinanderausführung) zweier Abbildungen

  

Folgende nicht-kommutative Gruppe H6 der Ordnung 6 ist eine Untergruppe der Abbildungsgruppe, die alle 384 Formen erzeugt.  
H6 = { I, K, L, KoL, LoK, KoLoK }

Es gilt:              KoLoK = LoKoL 

                       (KoL)2 = (KoL)o(KoL) = (KoLoK)oL = (LoKoL)oL = (LoK)o(LoL) = LoK  
                       (LoK)2 = (LoK)o(LoK) =  KoL

  

Zugehörige nicht-kommutative Gruppentafel:

   

  

Folgende zyklische Gruppe Z4 = { X, X2, X3, X4 = I } der Ordnung 4 ist eine Untergruppe der Abbildungsgruppe, die alle 48 verschiedenen Grundformen erzeugt. 

Erzeugende Abbildung X:              Zugehörige Gruppentafel mit X2 = XoX, usw.:

            

          

  

 

Mit den beiden elementaren Abbildungen L und X  lassen sich alle Grundformen pandiagonaler magischer Quadrate erzeugen. 
  

Zur Vereinfachung wird im Folgenden das Verknüpfungszeichen "o" weggelassen.

Nicht-kommutative Gruppe G48 der Abbildungen, die aus einer gegebenen Grundform alle 48 Grundformen erzeugt:

 { I = X4,  L,  X,  X²,  X³, LX,  LX²,  LX³,  LXL,  LX²L,  LX³L, LXLX, LX²LX,  LX³LX,  LXLX²,  LX²LX²,  LX³LX²,  LXLX³,  LX²LX³, LX³LX³,

LXLXL,  LX²LXL,  LX³LXL,  LXLX²L, LX²LX²L, LX³LX²L,  LXLX³L ,  LX²LX³L, LX³LX³L,

LXLXLX,  LX²LXLX,  LX³LXLX,  LXLX²LX,  LXLX³LX,  LX²LX³LX,  LX³LX³LX,

LX²LXLX²,  LX²LXLX³,  LX²LX³LX³, LX³LX³LX³,

LXLXLXL,  LX²LXLXL,  LX³LXLXL,  LXLX³LXL,  LX²LX³LXL,  LX³LX³LXL ,

LX²LXLX³L,  LX²LX³LX³L } 

Es gilt:

 LL = I, X4 = I

XL = LX²LX³LX²,  X²L = LX²LX²LX²,  X³L = LX²LXLX² =(LX)5,

XLX = LX²LX³LX³,  X²LX = LX³LX²L,  X³LX = LX²LXLX³, 

XLX² = LX²LX³L,  X²LX² = LX²LX²L,  X³LX² = LX²LXL,

XLX³ = LX²LX³LX,  X²LX³ = LXLX²L,  X³LX³ = LX²LXLX,

XLXL = LX²LX³LX³L,  X²LXL = LX³LX²,  X³LXL = LX²LXLX³L,

XLX²L = LX²LX³,  X²LX²L = LX²LX²,  X³LX²L = LX²LX,

XLX³L = LX²LX³LXL,  X²LX³L = LXLX²,  X³LX³L = LX²LXLXL = (LX)4,

XLXLXL = LXLXLX,  (XLX)² = (LXL)² = LX²L,

u.a.

Eine Verknüpfung zweier Elemente der Gruppe führt wieder zu einem Element der Gruppe.

Beispiele:

 (LX²LX²L)² = (X²LX²)² = X²LX²X²LX² = X²LLX² = X4 = I

(LX²LX²LX²)( LX²LX²L ) = X²L X²LX² = X²L LX²LX²L = LX²L

LX²LXLXL LXLX = (LX)4 (LX)2 = (LX)6 = LXLXLX LXLXLX = XLXLXL LXLXLX =

XLXL X²LXL X = XLXL LX³LX² X = X LL X³ = I

 

Es gibt eine Menge weiterer interessanter Gruppenstrukturen innerhalb der magischen 4x4-Quadrate!

  

Internetquellen:

http://www.mathe-online.at/materialien/maria.koth/files/Magische_Quadrate_Infotext.pdf

http://www.gaspalou.fr/magic-squares/order-4.htm

  


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