Kreis und Vieleck

Der Kreis (Kreislinie) k ist die Menge aller Punkte P einer Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (Radius) haben, i.Z.  k = {P | |MP| = r}.

Mit einem Zirkel kann man die Kreislinie zeichnen.

Durchmesser d = 2٠r = 2 r
u = Umfang des Kreises
A = Kreisfläche

Die Kreisfläche ohne Kreislinie heißt offene Kreisfläche, die Kreisfläche mit Kreislinie heißt abgeschlossene Kreisfläche.

d = 2٠r = 2r   Abrollender Kreis dynamisch

Wenn ein Kreis einmal abrollt, hat er eine Wegstrecke  zurückgelegt, die seinem Umfang entspricht und etwas länger als das Dreifache seines Durchmessers ist. Der Faktor mit dem die Länge d des Durchmessers multipliziert wird, um die Länge u des Kreisumfangs zu erhalten, wird als Kreiszahl π (pi) bezeichnet. 

u  = d٠π  = 2 r π,  π  ≈  3,1415926536 (auf 10 Nachkommastellen)

Flächeninhalt A des Kreises:  A = r² π

Begründung:

Die Kreisfläche wird durch ein eingepasstes reguläres n-Eck (n gerade natürliche Zahl) in gleich große Dreiecke unterteilt und passend zu einem Rechteck zusammengesetzt. Je größer die Eckenzahl n ist, umso mehr nähert sich die Rechtecklänge dem halben Umfang u/2 an und die Rechteckbreite dem Radius r an.
Im Grenzfall stimmt der Inhalt der Kreisflächen mit dem Inhalt der Rechteckfläche überein. Daraus folgt:

                                                                                                Kreisflächeninhalt A = u/2٠r = 2rπ : 2٠r = r²π

Lage von Geraden in Bezug zu einem Kreis

M ist der Mittelpunkt des Kreises k.

Die Passante hat keinen Punkt mit dem Kreis gemeinsam. Der Abstand d_P der Passante von M ist größer als r.

Die Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten P und Q. Die Strecke [PQ] heißt Sehne. Der Abstand d_S der Sekante oder Sehne von M ist kleiner als r.

Die Tangente berührt den Kreis im Punkt B. Der Abstand der Tangente von M ist gleich r.

Der Kreissektor

Es gelten folgende Proportionen mit u = 2rπ und Mittelpunktswinkel α im Gradmaß:
b : 2rπ  =  C : 360°  und  A : r²π =  α : 360° 

Daraus folgt:
Länge des Kreisbogens               b = α : 360°٠2rπ
Flächeninhalt des Kreissektors  A = α : 360°٠r²π

Kreissehne und Kreissegment

N ist der Mittelpunkt der Kreissehne [PQ] und s = |PQ|.

Im Dreieck MPN gilt:
sin(α/2) = 0,5٠s/r  oder  s = 2r sin(α/2)
cos(α/2) = h/r  oder  h = r cos(α/2)
Flächeninhalt D von ΔMPQ:
D = ½ s h = r² sin(α/2) cos(α/2)
D = r² sin(α)/2
Flächeninhalt B des Kreissegments:
B = A – D  =  α /360°٠r²π – r² sin(α)/2
B = 0,5 r² (α /180° – sin(α))

 Kreisring

Flächeninhalt des Kreisrings:

R² π – r² π = (R² – r²) π

Kreisgleichungen

Koordinatengleichung

Für den Abstand r des Punktes P(x,y) vom Punkt M(x₀,y₀) gilt:

(x – x₀)² + (y – y₀)² = r²  (Pythagoras im ΔMSP)

Spezialfall: 

Einheitskreis  x² + y² = 1 mit M(0,0) und r = 1

Parametergleichungen

x = x₀ + r cos φ
y = y₀ + r sin φ

0 ≤ φ ≤ 2 π

Geometrische Sätze zum Kreis

Umkreis und Inkreis des Dreiecks

Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck

Die drei Mittelsenkrechten der drei Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt U des Dreiecks.

Begründung s. Lehrsätze im Dreieck

Satz von den Winkelhalbierenden im Dreieck

Die drei Winkelhalbierenden der drei Winkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt W des Dreiecks.

Begründung s. Lehrsätze im Dreieck

Der Thaleskreis

Satz des Thales

Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über [AB] liegt.

Begründung s. Lehrsätze im Dreieck

Der Apollonioskreis

Alle Punkte C, deren Entfernungen von zwei gegebenen Punkten A und B ein festes Verhältnis b : a haben, liegen auf einem Kreis mit Durchmesser [T_iT_a].
Ti und Ta teilen [AB] harmonisch im Verhältnis b : a, d.h. es gilt:
|AT_i| : |T_iB| = |AT_a| : |T_aB|.

Begründung:

wγ und wγ‘ sind die Winkelhalbierenden zu γ und dem Nebenwinkel γ‘ zu γ, wobei gilt:
γ + γ‘ = 180°  ⇒  γ/2 + γ‘/2 = 90°.

Mit den parallelen Geraden TiC, BD und BE, TaC folgt unter zweimaliger Anwendung der zentrischen Streckung mit Zentrum A:
|AT_i| : |T_iB| = b : a  und  |AT_a| : |T_aB| = b : a.

Da  ≮T_iCT_a = 90° gilt, liegt C auf dem Thaleskreis über [T_iT_a].

Umfangswinkel-Satz 

Alle Umfangswinkel γ = ≮ACB über derselben Sehne [AB] eines Kreises sind gleich groß.
 

Mittelpunktswinkel-Satz

Liegen Umfangs- und Mittelpunktswinkel auf derselben Seite einer Sehne [AB], so ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel.

  S 

Begründung:

Im Sonderfall gilt:
180°– μ + 2γ = 180°

Im allgemeinen Fall gilt:

180°– μ₁ + 2γ₁ = 180°
                     μ₁ = 2γ₁

180°– μ₂ + 2γ₂ = 180°
                     μ₂ = 2γ₂

μ = μ₁ + μ₂ = 2γ₁ + 2γ₂ = 2γ

Sehnen-Tangenten-Winkel

Der Sehnen-Tangenten-Winkel τ  = ≮PAB ist halb so groß wie der zur Sehne [AB] gehörige Mittelpunktswinkel μ und genau so groß wie der Umfangswinkel γ.

Die Umfangswinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°, da sich die zugehörigen Sehnen-Tangenten-Winkel τ  und τ‘ zu 180° ergänzen.

Sehnenviereck

Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen, d.h. wenn gilt:
α + γ = 180°  und  β + δ = 180°

Sehnen-Tangenten-Viereck

Falls sich die Sehnen der gegenüberliegenden Berührpunkte des Tangentenvierecks im rechten Winkel φ = 90° schneiden gilt:
α + γ = 180°

Begründung:
I  α + ε + δ + 90° = 360°  (Winkelsumme im Viereck AESH)
γ + 180°- ε + 180°- δ + 90° = 360°  (Winkelsumme im Viereck SFCG)
II  γ – ε – δ + 90° = 0

I + II  α + γ + 180° = 360°
               α + γ = 180°

Entsprechend gilt:  β + δ = 180°

Damit entsteht ein Sehnen-Tangenten-Viereck, d.h. das Viereck ABCD ist sowohl  Sehnenviereck als auch Tangentenviereck und besitzt einen Inkreis und einen Umkreis.

 Feuerbachkreis und Eulergerade

 
In jedem Dreieck liegt der Schnittpunkt H der Höhen, der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F und der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten liegen auf einer Geraden. Diese Gerade heißt Euler-Gerade.

Die Seitenmitten M_a, M_b, M_c und die Höhenfußpunkte H_a, H_b, H_c eines Dreiecks und die Mittelpunkte A’, B’, C’ zwischen den Dreiecksecken und dem Höhenschnittpunkt liegen auf einem Kreis. Dieser Kreis heißt Feuerbach-Kreis oder Neunpunktekreis mit Mittelpunkt F.
Beweis s.  D. Grinberg 

Weitere Eigenschaften:

1.   Die Eulersche Gerade geht auch durch den Mittelpunkt F des Feuerbach-Kreises;
      der Mittelpunkt dieses Kreises ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke [HM].

2.   Die vier Punkte M, S, F und H sind vier harmonische Punkte mit dem Teilverhältnis
      |τ| = 2 : 1. 

3.   Im Dreieck ABC besitzt der Feuerbach-Kreis einen halb so großen Radius wie der
      Umkreis des Dreiecks.

Sich berührende Kreise

Die Mittelpunkte sich berührender Kreise sind Eckpunkte regulärer Sechsecke.

Grundlegende Konstruktionen

Ausgewählte Konstruktionen an Kreisen

Kreismittelpunkt konstruieren:

    Die Mittelsenkrechten zweier Kreissehnen schneiden sich im Mittelpunkt M.

Tangente an zwei verschieden große Kreise konstruieren:

Die Ziffern 1 bis 4 geben die Reihenfolge der Konstruktion an.
Die Schnittpunkte der Thaleskreise über [M₁S] und [M₂S] mit den Kreisen k₁ und k₂ sind die Berührpunkte B₁ und B₂ einer gemeinsamen Tangente an die Kreise.

Es gibt eine zu M₁M₂ spiegelbildlich liegende zweite Tangente.

Konstruktion eines regulären Sechsecks:

Die Mittelpunkte von 6 Kreisen, die auf einem gegebenen Kreis mit Radius r den gleichen Abstand r haben, sind die Eckpunkte eines regulären Sechsecks.

Alle 7 Kreise haben damit den gleichen Radius r, der gleich der Seitenlänge des regulären Sechsecks ist.

Mandala aus einer Reihe von derartig sich schneidenden Kreisen gebildet.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit gegebener Seite [AB] der Länge a:

P liegt:
1. Auf dem Lot in A zu AB.
2. Auf  dem Kreis um A mit Radius a.

Q liegt:
1. Auf der Halbgeraden [AB.
2. Auf dem Kreis um M mit Radius |MP|.

E liegt:
1. Auf  dem Kreis um A mit Radius a.
2. Auf  dem Kreis um B mit Radius |BQ|.

D liegt:
1. Auf  der Mittelsenkrechten von [AB].
2. Auf  dem Kreis um B mit Radius |BQ|.

C liegt:
1. Auf  dem Kreis um D mit Radius |DE|.
2. Auf  dem Kreis um B mit Radius a.

Es entsteht ein reguläres Fünfeck ABCDE, in dem die gleich langen Diagonalen d im goldenen Schnitt zur Seitenlänge a stehen,  d : a = (√5 + 1)/2 : 1.

Annäherung des Kreises durch Vielecke

Näherung des Kreises durch ein reguläres 6-eck, 12-eck, 24-eck, 48-eck, … liefert folgende Flächenberechnungen A₆, A₁₂, A₂₄, A₄₈, …:

A₆:   6٠1/2٠2٠r sin(30°)٠r cos(30°)  ≈  2,60 r²
A₁₂:   12٠1/2٠2٠r sin(15°)٠r cos(15°)  =  3 r²
A₂₄:   24٠1/2٠2٠r sin(7,5°)٠r cos(7,5°)  ≈  3,11 r²
A₄₈:   48٠1/2٠2٠r sin(3,75°)٠r cos(3,75°)  ≈  3,13 r²

Die regulären Vielecke nähern sich mit zunehmender Eckenzahl dem Flächeninhalt π r² an. Es gilt:

٠

Der Kreis als Schnittfläche des geraden Kreiskegels mit einer zur Grundfläche parallelen Ebene im Grundriss, Aufriss und Schrägbild

Kreise als Schnittflächen einer zur Grundebene parallelen Fläche mit Zylinder, Kegel und Kugel in Schrägbilddarstellung

Umkreise und spezielle Inkreise von regelmäßigem Dreieck, Viereck und Fünfeck

Bei gleich großem Umkreisradius R ergeben sich in den Figuren gleich große Inkreise mit Radius r = R/4

Begründung für A:

Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt die Höhe im Verhältnis 2:1.

Daraus folgt:  |MF| = R/2

Im kleinen gleichseitigen Dreieck gilt dann entsprechend:

r = |MT| = 1/2⸱R/2 = R/4

Begründung für B:

T ist der Mittelpunkt der Strecke MS und U ist der Mittelpunkt der Strecke MT.

Daraus folgt: r = R/4

       Begründung für C:

Spielereien mit Kreisen und Kreisbögen

Bilder wurden mit Hilfe von Geogebra oder der Programmiersprache Python erstellt.