Spiralen

Eine Spirale ist eine ebene Kurve, die aus unendlich vielen Windungen um einen festen Punkt besteht und aus höchstens zwei Ästen zusammengesetzt ist, bei denen der Abstand vom Mittelpunkt vom Drehwinkel abhängt.

Spiralen kann man mathematisch durch Polarkoordinaten beschreiben, wobei gilt:

Der Radius r ist eine Funktion des Winkels φ:  r = r(φ)

In x-y-Koordinaten gilt dann: x = r(φ)٠cos(φ);  y = r(φ)٠sin(φ)

Die archimedische Spirale

In Polarkoordinaten:  r(φ) = a φ

In x-y-Koordinaten: x = a φ cos(φ); y = a φ sin(φ)

a = 0,5; 0 ≦ φ ≦ 9π

Bei der Archimedischen Spirale ist der Abstand der Spiralwindungen konstant.

Die fermatsche oder parabolische Spirale

In Polarkoordinaten:  r(φ) = a

In x-y-Koordinaten: x = a  cos(φ); y = a  sin(φ)

a = 1; 0 ≦ φ ≦ 9π

Bei der fermatschen Spirale nimmt der Abstand der Spiralwindungen ab.

Die logarithmische Spirale

In Polarkoordinaten:  r(φ) = a exp(kφ)

In x-y-Koordinaten: x = a exp(kφ)  cos(φ); y = a exp(kφ)  sin(φ)

exp( ) = e^{( )},  e = 2,71828… (Eulersche Zahl)

a = 0,1; k = 0,2; 0 ≦ φ ≦ 8π

Spezialfall: goldene Spirale

k = 2 ln τ

siehe: goldener Schnitt – Konstruktionen

Wenn DIN-A-Rechtecke in Spiralform angeordnet werden,
lässt sich eine logarithmische Spirale einpassen.

Die Pythagoras-Spirale

Die rechtwinkligen Dreiecke mit den grünen Quadraten sind ähnliche Dreiecke. Es gilt:

Die Summe der Flächeninhalte der grünen Quadrate ist gleich dem Flächeninhalt des braunen Quadrats.

Begründung s. Pythagoras

Logarithmische Spirale durch die Mittelpunkte der grünen Quadrate in Näherung:

x = a exp(kφ)  cos(φ)

y = a exp(kφ) sin(φ)

a = 0,148; k = 0,28

Die hyperbolische Spirale

In Polarkoordinaten:  r(φ) = a/φ

In x-y-Koordinaten: x = a/φ cos(φ); y = a/φ sin(φ)

a = 10; 0 < φ ≦ 9π

Für φ gegen 0 hat die hyperbolische Spirale als Asymptote y = a.

Für φ gegen unendlich hat die hyperbolische Spirale als Grenzwert den Nullpunkt (0; 0).

Die Lituus-Spirale

In Polarkoordinaten:  r(φ) = a /

In x-y-Koordinaten: x = a /  cos(φ); y = a /  sin(φ)

a = 5; 0 < φ ≦ 9π

Für φ gegen 0 hat die hyperbolische Spirale als Asymptote y = 0.

Für φ gegen unendlich hat die hyperbolische Spirale als Grenzwert den Nullpunkt (0; 0).

Querschnitt eines Ammoniten

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Näherung der Spiralform in Polarkoordinaten:

r(φ) = a exp(b )

a = 0,11; b = 0,85; 0 ≦ φ ≦ 6π

Spiralförmig wirkende zirkulare phasenverschobene Sinuskurven

Spiralförmige Parkette s. Spiralparkette