Umfang u = 4 a

Inkreisradius  r_i =  a

Umkreisradius  r_u =  a

Innenwinkel  α = β = 𝛾 = δ = 90°

Diagonallänge  d =   (Pythagoras im Dreieck ABC:  d² = a² + a²)

Das Quadrat hat 4 Symmetrieachsen.

Das Quadrat hat unter den Rechtecken mit gleichem Umfang den größten Flächeninhalt:

  Umfang des Quadrats u_Q = 4a

  Umfang des Rechtecks u_R = 2(a+x) + 2(a–x) = 4a

  Flächeninhalt des Quadrats A_Q = a²

  Flächeninhalt des Rechtecks A_R = (a+x)(a–x) = a² – x²

  Daraus folgt:  A_Q  >  A_R  für x > 0

Der Pythagoras

        a² + b² = c²

Die Quadratur des Rechtecks mit Hilfe des Höhensatzes

Die eine Seite des Rechtecks sei der Hypotenusenabschnitt p und die andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkligen Dreiecks.
Dann dreht man die Seite q des Rechtecks um 90° und erhält so die Basis [AB] eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Verlängerung der Rechteckseite q schneidet den Thaleskreis mit Mittelpunkt M über der Basis [AB] im Punkt C und liefert die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
Das Quadrat mit der Seitenlänge h hat genau denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

Die Quadratur des Kreises

Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt eines Kreises kann nicht konstruiert werden, da die Wurzel aus π nicht konstruierbar ist.  
(Beweis durch Ferdinand von Lindemann 1882)

Flächeninhalt des Kreises:   r²π

Flächeninhalt des Quadrats: r²π

Quadratzahlen

Wenn die Seitenlänge eines Quadrats n-fach so groß wird, wird die Fläche des Quadrats n²-fach so groß.

Entsprechend gehören zu den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, …, n  die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, …, n².

Anzahl der Quadrate eines Quadratgitters

a) Anzahl der Quadrate längs der Gitterlinen

Quadrat-Typ       Anzahl der Quadrate

1x1 – Quadrat         1      

2x2 – Quadrat         4 + 1 = 5      

3x3 – Quadrat         9 + 4 (2x2-Quadrate) + 1 = 14

4x4 – Quadrat        16 + 9 (2x2-Quadrate) + 4 (3x3-Quadrate) + 1 = 30

5x5 – Quadrat        25 + 16 (2x2-Quadrate) + 9 (3x3-Quadrate) + 4 (4x4-Quadrate) + 1 = 55

. . .

Für n = 2, 3, …, 11 erhält man als Anzahl von Quadraten:  1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385

b) Anzahl der Quadrate längs der Diagonalen zu den Gitterlinien

Quadrat-Typ       Anzahl zusätzlicher schiefer Quadrate

2x2 – Quadrat         1       

3x3 – Quadrat         4 (dxd-Quadrate)

4x4 – Quadrat         9 (dxd-Quadrate) + 1 (2dx2d-Quadrat) = 10

5x5 – Quadrat        16 (dxd-Quadrate) + 4 (2dx2d-Quadrate) = 20

6x6 – Quadrat        25 (dxd-Quadrate) + 9 (2dx2d-Quadrate) + 1 ((3dx3d-Quadrat) = 35

. . .

Für n = 1, 2, 3, …, 10 erhält man als Anzahl von Quadraten:  1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220

c) Anzahl aller Quadrate in einem Quadratgitter n*n:  →Lösung

Magische Quadrate

Ein natürliches (normales) magisches Quadrat der Ordnung (Kantenlänge) n ist eine quadratische Anordnung der Zahlen 1, 2, 3, ..., n², wobei die Summen jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der beiden Diagonalen den gleichen Wert besitzen. 

  Magisches 3x3-Quadrat

Lateinische Quadrate

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit n Reihen und n Spalten, wobei jedes Feld mit einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Die 12 lateinische Quadrate der Ordnung 3, mit Farben und mit Zahlen:

Durch Spiegelungen, Drehungen um 90° und zyklische Spaltenvertauschungen können aus einem lateinischen Quadrat der Ordnung 3 alle anderen erzeugt werden.

Anzahl der verschiedenen lateinische Quadrate der Ordnung n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … : 
1, 2, 12, 576, 161280, 812851200, 61479419904000, ….   Quelle

3-Quadrat:  3!٠2!  =  12

4-Quadrat:  4!٠3!٠2²  =  576

5-Quadrat:  5!٠4!٠2³٠7  =  161280

6-Quadrat:  6!٠5!٠2⁶·3·7²  =  812851200

7-Quadrat:  7!٠6!٠2¹⁰·3·5·1103  =  61479419904000

Es ist kein Bildungsgesetz für die Zahlenfolge bekannt.

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 9 mit der Zusatzbedingung, dass in der Aufteilung in 9  3×3-Quadrate in jedem dieser Quadrate alle Ziffern von 1 bis 9 jeweils genau einmal auftreten, führt zu dem Zahlenrätsel Sudoku.

Griechisch-lateinische Quadrate

Ein griechisch-lateinisches Quadrat (GLQ) oder Eulersches Quadrat der Größe n ist ein quadratisches Schema mit n Zeilen und n Spalten, bei dem in jedem der der n⸱n Felder ein Zeichen aus einer Menge L und eines aus einer anderen Menge G eingetragen ist. Dabei muss in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element aus L und ebenso jedes Element aus G genau einmal stehen und jedes lateinisch-griechische Paar darf nur einmal vorkommen.

Der Mathematiker Leonhard Euler nannte diese Felder griechisch-lateinische Quadrate, da er Buchstaben aus dem griechischen und lateinischen Alphabet für die Werte verwendete.

Es wird auch als orthogonales lateinisches Quadrat bezeichnet.

Beispiele:

GLQ 3x3

L = {A, B, C}, G = {α, β, γ}

GLQ 4x4

L = {A, B, C, D}, G = {a, b, c, d}

GLQ 5x5

L = {, , , , }

G = {, , , , }

Die Parkettierung der Ebene nur mit gleich großen Quadraten

Quadrate in archimedischen Parkettierungen

Die Quadratur von Quadraten

Unter der Quadratur von Quadraten versteht man eine Parkettierung eines gegebenen Quadrats mit kleineren Quadraten, deren Seitenlängen ganzzahlige Werte haben.
Als Ordnung der Parkettierung bezeichnet man die Zahl der Teilquadrate.

Eine perfekte Quadratur von Quadraten ist eine Quadrat-Parkettierung, die keine kongruenten Teilquadrate enthält.

Kleinstmögliche perfekte Quadratur der Ordnung 21;
das vorgegebene Quadrat hat die Seitenlänge 112.

A. J. W. Duijvestijn fand 1978 mit Computerhilfe die perfekte Quadratur der Ordnung 21 und bewies, dass dies die geringstmögliche Ordnung und zugleich die einzige dieser Ordnung ist.

Eine unperfekte Quadratur von Quadraten ist eine Quadrat-Parkettierung, die mehrere kongruente Teilquadrate enthält.

Kleinstmögliche unperfekte Quadratur der Ordnung 13 mit höchstens zwei kongruenten Teilquadraten;
das vorgegebene Quadrat hat die Seitenlänge 23.

   Quelle

Unperfekte Quadratur der Ordnungen 9 und 10 mit höchstens drei kongruenten Teilquadraten.

  
Quadratkombinationen

Quadrate, von der Ordnung zur Unordnung