Das Quadrat

 

Quadrat mit der Seitenlänge a

Flächeninhalt  A = a2

Umfang u = 4 a

Inkreisradius  ri =  a

Umkreisradius  ru =  a

Innenwinkel  α = β = 𝛾 = δ = 90°

Diagonallänge  d =   (Pythagoras im Dreieck ABC:  d² = a² + a²)

 

    

 

Das Quadrat hat 4 Symmetrieachsen.

 

 

 

Das Quadrat hat unter den Rechtecken mit gleichem Umfang den größten Flächeninhalt.

   

  Umfang des Quadrats uQ = 4a

  Umfang des Rechtecks uR = 2(a+x) + 2(a–x) = 4a

  Flächeninhalt des Quadrats AQ = a²

  Flächeninhalt des Rechtecks AR = (a+x)(a–x) = a² – x²

  Daraus folgt:  AQ  >  AR  für x > 0

   

Der Pythagoras

 

 

 

        a² + b² = c²

 

  

    

 Die Quadratur des Rechtecks mit Hilfe des Höhensatzes

Die eine Seite des Rechtecks sei der Hypotenusenabschnitt p und die andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkligen Dreiecks.
Dann dreht man die Seite q des Rechtecks um 90° und erhält so die Basis [AB] eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Verlängerung der Rechteckseite q schneidet den Thaleskreis mit Mittelpunkt M über der Basis [AB] im Punkt C und liefert die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
Das Quadrat mit der Seitenlänge h hat genau denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.

 

   

Die Quadratur des Kreises

Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt eines Kreises kann nicht konstruiert werden, da die Wurzel aus π nicht konstruierbar ist.  
(Beweis durch Ferdinand von Lindemann 1882)

 

Flächeninhalt des Kreises:   r2π

Flächeninhalt des Quadrats: r2π

 

 

 

  

Quadratzahlen

Wenn die Seitenlänge eines Quadrats n-fach so groß wird, wird die Fläche des Quadrats n²-fach so groß.

Entsprechend gehören zu den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, …, n
die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, …, n².

  

Magische Quadrate

Ein natürliches (normales) magisches Quadrat der Ordnung (Kantenlänge) n ist eine quadratische Anordnung der Zahlen 1, 2, 3, ..., n2, wobei die Summen jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der beiden Diagonalen den gleichen Wert besitzen. 

 

  Magisches 3x3-Quadrat

  

  
 

Lateinische Quadrate

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit n Reihen und n Spalten, wobei jedes Feld mit einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Die 12 lateinische Quadrate der Ordnung 3, mit Farben und mit Zahlen:


 

 

Durch Spiegelungen, Drehungen um 90° und zyklische Spaltenvertauschungen können aus einem lateinischen Quadrat der Ordnung 3 alle anderen erzeugt werden.

      

Anzahl der verschiedenen lateinische Quadrate der Ordnung n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … : 
1, 2, 12, 576, 161280, 812851200, 61479419904000, ….   Quelle

3-Quadrat:  3!٠2!  =  12

4-Quadrat:  4!٠3!٠  =  576

5-Quadrat:  5!٠4!٠23٠7  =  161280

6-Quadrat:  6!٠5!٠26·3·72  =  812851200

7-Quadrat:  7!٠6!٠210·3·5·1103  =  61479419904000

Es ist kein Bildungsgesetz für die Zahlenfolge bekannt.

 

Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 9 mit der Zusatzbedingung, dass in der Aufteilung in 9  3×3-Quadrate in jedem dieser Quadrate alle Ziffern von 1 bis 9 jeweils genau einmal auftreten, führt zu dem Zahlenrätsel Sudoku.
 

Die Parkettierung der Ebene nur mit gleich großen Quadraten

      

Quadrate in archimedischen Parkettierungen

 

Quadratur von Quadraten

Unter der Quadratur von Quadraten versteht man eine Parkettierung eines gegebenen Quadrats mit kleineren Quadraten, deren Seitenlängen ganzzahlige Werte haben.
Als Ordnung der Parkettierung bezeichnet man die Zahl der Teilquadrate.

Eine perfekte Quadratur von Quadraten ist eine Quadrat-Parkettierung, die keine kongruenten Teilquadrate enthält.

Kleinstmögliche perfekte Quadratur der Ordnung 21;
das vorgegebene Quadrat hat die Seitenlänge 112.

A. J. W. Duijvestijn fand 1978 mit Computerhilfe die perfekte Quadratur der Ordnung 21 und bewies, dass dies die geringstmögliche Ordnung und zugleich die einzige dieser Ordnung ist.

 

Eine unperfekte Quadratur von Quadraten ist eine Quadrat-Parkettierung, die mehrere kongruente Teilquadrate enthält.

Kleinstmögliche unperfekte Quadratur der Ordnung 13 mit höchstens zwei kongruenten Teilquadraten;
das vorgegebene Quadrat hat die Seitenlänge 23.

   Quelle

Unperfekte Quadratur der Ordnungen 9 und 10 mit höchstens drei kongruenten Teilquadraten.

    
 

  
Quadratkombinationen

 

   


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